java - 期望 n 个 float 总和为 1 的合适容差是多少

Question

我有 n 个 float ，它们的总和应为 1，每个 float 都可以取 0 到 1 之间的任何值。我想检查它们的总和是否为 1，但考虑到 FP 数字不准确，检查总和 == 1 不会总是工作。

因此我想检查 Math.abs(sum - 1) < epsilon，但我不确定 epsilon 的良好值应该是多少。是否可以确定最大不准确度？

更新:我理解为什么 float 不精确，并且我知道我可以以更精确的方式处理概率。我只是想多了解一点关于 float 的知识。

更新 2:如果我从数学上考虑 float ，它们的总和为 1(例如 0.1 + ... + 0.1)

Answer 1

是的，可以确定使用固定精度 float 进行加法所产生的最大可能“误差”。

但是，此分析的结果对于 epsilon 来说不是有用的值。

考虑以下示例:

float a = 1.0E-37f;
float b = Float.MIN_VALUE;

System.out.println((a+b) == a);
System.out.println(a);
System.out.println(1.0f - a);

打印:

true
1.0E-37
1.0

因此，如果您对 1.0E-37f 执行任意次数的 Float.MIN_VALUE 加法，则总和与 1.0f 的差值code> 仍为 1.0f。

这表明，当使用无限精度时，有限精度 float 所引入的最大误差总计为 1.0，实际上是 1.0f - 显然，即作为 epsilon 没有用。仅当已知“足够好”的要求时，才可能确定有用的 epsilon - 这取决于您想要将结果用于什么用途，并且一般无法回答。

<小时/>

当然，上面的示例有点做作，因为它突出显示了在您的情况下可能不可能出现的最坏情况，具体取决于 n 的实际值。

正如 @EricPostpischil 在评论中提到的，

the maximum error of adding any two numbers in [0, 1] is ½ ULP(½), and there are n−1 additions, so the total error is at most (n−1)•½•ULP(½).

正如您从该公式中看到的，需要 n 的大值才能得出 1.0 的误差。 (您可能已经注意到，我在示例中选择了相对较小的值 - 需要很多值才能加起来为 1)。

输入一些数字:

int n = 33554433;
System.out.println((n-1)*0.5*Math.ulp(0.5f));

产量

1.0

如果您的 n 低得多，或者您知道您尚未告诉我们的输入数字的进一步限制，则可能会获得更有用的错误上限.

<小时/>

然而，我的观点仍然成立 - 虽然了解这个上限可能有用，但它不能用作 epsilon 来验证值通常是否“足够好”。