r - splinefun 方法为 ='fmm'

Question

我已经在互联网上搜索了一个小时，但没有成功，但无论如何，我都找不到关于使用 时 splinefun 如何将样条曲线拟合到一组点的解释。 method='fmm'(该方法源自 Forsythe、Malcolm 和 Moler)。我知道以下内容:

拟合具有 N 个节点的三次样条是一个具有 (N-1)*4 未知数的问题。假设样条线经过所有节点，得到 (N-1)*2 个方程；假设样条线在节点处是平滑的，则得到 (N-2)*2 个条件(准确地说:它的一阶和二阶导数是连续的) 。这就留下了 2 个条件来确定样条线。通过假设端点处的二阶导数为零来找到自然三次方。但 fmm 做了一些不同的事情。据我所知，它适合一个精确的三次方到一个结的子集(哪个结？)，然后将该三次方的某些导数施加到样条曲线上(哪些导数在哪里评估？)。

Answer 1

正如您正确指出的那样，还需要两个条件才能完全定义样条线。在 splinefun 的 R 文档中，引用了以下书籍:

Forsythe, G. E.、Malcolm, M. A. 和 Moler, C. B. (1977) 数学计算的计算机方法。威利。

本书中描述的获得其余两个条件的方法使用序列数据两端的最后和前四个点来拟合三次多项式。这是很容易实现的，因为四个点足以完全定义一个立方体。每个多项式的三阶导数(三次方常数)用作边界条件。对于具有样条函数 s(x) 并在任一侧 c_1(x)、c_n(x) 上拟合三次的序列数据 x_1, ... x_n，剩余的两个边界条件为

s'''(x_1) = c_1'''

s'''(x_n) = c_n'''