haskell - 原始递归和变态之间有什么联系？

Question

使用以下自然数的变态，我可以实现各种算术算法，而无需处理递归:

cataNat :: b -> (b -> b) -> Natural -> b
cataNat zero succ = go
  where
    go n = if (n <= 0) then zero else succ (go (n - 1))

fib :: Natural -> Natural
fib = fst . cataNat (0, 1) (\(a, b) -> (b, a + b))

cataNat在我看来类似于原始递归。无论 zero 的哪个组合，至少它的每个应用程序似乎都可以终止。和 succ提供。在每次迭代中，整个问题都被最小/最简单的问题实例分解。因此，即使它在技术上不是原始递归，它似乎也具有同样的表现力。如果这是真的，则意味着变态不足以表达一般递归。我们可能需要一个hylomorphism。我的推理是否正确，也就是说，是否对任何类型的变质都成立，而不仅仅是自然数？

Answer 1

原语递归直接对应于一个paramorphism。
您是正确的，变质具有与异质性等效的理论能力，但是在操作方面它们可能在重要方面有所不同。例如，让我们使用列表而不是 Nats。

cata :: b -> (a -> b -> b) -> [a] -> b
cata = flip foldr -- I'm lazy, but this argument order makes a bit more sense for this example

para :: b -> (a -> [a] -> b -> b) -> [a] -> b
para z _ []     = z
para z f (x:xs) = f x xs (para z f xs)

-- Removes the first element from the list which is equal to the other argument
delete1 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
delete1 x xs = cata (const []) (\el k found -> if not found && el == x then k True else el : k found) xs False

-- Removes the first element from the list which is equal to the other argument
delete2 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
delete2 x xs = para [] (\el raw processed -> if el == x then raw else el : processed) xs

看看多别扭 delete1是，与 delete2 相比.您不仅要通过生成 cata 的结果来扭曲您的逻辑。一个功能，但也有非常实际的运营成本。找到匹配元素后必须遍历列表中的所有内容，并重新创建所有 (:)构造函数。这可能会在效率上产生显着的成本。相比之下， delete2 ，当它找到目标元素时，可以只使用列表的现有尾部作为剩余部分，甚至不需要查看它。当然， foldr 的大多数用途(现实世界，不是这个例子)不产生函数并且不想访问列表的未处理尾部。对他们来说，仅仅因为传递更少的数据，变质将稍微更有效率。
所以就理论能力而言，它们是等价的。在操作方面，每个都有一个用途，尽管变质更为常见。
对于更一般的概念的一些扩展，请参阅 recursion-schemes图书馆。它使用了一种看起来完全不同的想法，因此它可以抽象出具有不同形状的数据类型，而不需要 cata 的不同类型。/ para对于可以应用的每种数据类型。但它实际上只是打包相同想法的另一种方式，并且还涵盖了其他类型的态射，包括许多 more niche (甚至 possibly useless )的。