贝塞尔曲线的 OpenGL 坐标

Question

基本上，我需要获取从 OpenGL 中的贝塞尔曲线实现绘制的所有坐标。具体来说，我需要坐标来沿着弯曲的轨迹路径移动场景中的球体对象(棒球)。这是我用来绘制曲线的:

GL2 gl = drawable.getGL().getGL2();    
float ctrlpoints[][] = new float[][]{
            {0.0f, 0.0f, 60f},
            {0.0f, 3.0f, 45.0f},
            {0.0f, 2.0f, 15.0f},
            {0.0f, 1.0f, 0f}};
    FloatBuffer ctrlpointBuf = FloatBuffer.allocate(ctrlpoints[0].length * ctrlpoints.length);
        for (int i = 0; i < ctrlpoints.length; i++) {
            for (int j = 0; j < 3; j++) {
                ctrlpointBuf.put(ctrlpoints[i][j]);
            }
        }
        ctrlpointBuf.rewind();

        gl.glMap1f(GL2.GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0f, 1.0f, 3, numControlPoints, ctrlpointBuf);
        gl.glEnable(GL2.GL_MAP1_VERTEX_3);

        gl.glColor3f(1.0f, 1.0f, 1.0f);
        gl.glBegin(GL2.GL_LINE_STRIP);
        for (int i = 0; i <= 30; i++) {
            gl.glEvalCoord1f((float) i / (float) 30.0);
        }
        gl.glEnd();

有人知道如何从这个实现中获得要点吗？

Answer 1

贝塞尔曲线很容易计算。首先是可分离的，这意味着您可以一次计算一个坐标(首先是 x，然后是 y，然后是 z...)。对于给定的坐标，以下是使用定义的函数:

double bezier(double A,  // Start value
              double B,  // First control value
              double C,  // Second control value
              double D,  // Ending value
              double t)  // Parameter 0 <= t <= 1
{
    double s = 1 - t;
    double AB = A*s + B*t;
    double BC = B*s + C*t;
    double CD = C*s + D*t;
    double ABC = AB*s + BC*t;
    double BCD = BC*s + CD*t;
    return ABC*s + BCD*t;
}

请注意，在上述函数中，参数 t 不是曲线的弧长参数，而是来自 t=0 的通用参数(其中点位于曲线的起点)到 t=1(该点位于曲线的终点)。

上图的交互式版本，您可以拖动 A、B、C、D 和 AB 点 is available here 。它是用 html/js/canvas 实现的，并且仅在 Chrome、Firefox、Safari 上进行了测试。

如果您需要在 XYZ 中以受控的特定速度移动对象，一种简单的方法是计算近似折线(例如，通过对曲线采样 100 个 t 值)，然后以在生成的折线上保持恒定速度。

贝塞尔三次曲线的真实弧长参数化(即使用沿曲线测量的长度参数)计算起来相当烦人(IIRC，积分没有封闭形式的解)。