logic - 为什么量词的顺序很重要？订单是如何确定的？

Question

我想知道为什么量词的顺序在逻辑公式中很重要？我在看逻辑程序设计的书时，提到了这样的几点，但没有说为什么。有没有人可以用一些例子来解释？另外，我们如何根据给定的逻辑公式确定量词的顺序？

提前致谢!

Answer 1

建议您阅读一本关于 first-order logic 的书在有关的书之前逻辑编程。

考虑真实的陈述:

1。 每个人都有妈妈

让我们在 FOL 中将其形式化。为了简单起见，我们会说论域是人的集合，即我们的个体变量 x、y、z... 范围超过人。然后1 变为:

1F。 (x)(Ey)母亲(y,x)

我们可以读作:对于每个人 x 存在某人 y 使得 y 是 x 的母亲。

现在让我们交换全称量词 (x) 和存在量词的顺序量词 (Ey):

2F。 (Ey)(x)Mother(y,x)

上面写着:有一些人 y 这样对于每个人 x，y 是 x 的母亲。或者用简单的英语:

2。 有人是每个人的母亲

你看到交换量词改变了语句的含义，把我们从正确的陈述1带到错误的陈述2。事实上，对于荒谬的错误陈述2，这意味着某人是他们自己的母亲。

这就是为什么量词的顺序很重要。

how can we determine order of quantifiers from a given logic formula?

好吧，例如在1F和2F中，所有的变量都已经被量词绑定(bind)了，所以没有什么可以确定的。量词的顺序就是你所看到的，从左到右。

假设其中一个变量是自由的(未绑定(bind))，例如

3F。 (Ey)母亲(y,x)

您可能会这样理解:有一个人是 x 的母亲，对于变量 person x。

但是这个公式真的没有表达任何声明。它表示人的一元谓词，谓词Someone is the mother of x。如果释放剩余的变量:

4F。 妈妈(x,y)

那么您就有了二元谓词或关系:x 是y 的母亲。 p>

具有 1,2,...,n 个自由变量的公式表示一元、二元、...,n 元谓词。

给定一个谓词，您可以通过将自由变量与量词绑定(bind)和/或用单个常量替换自由变量来进行陈述。从 4F 您可以:

(x)(y)Mother(x,y)       (Everybody is everybody's mother)
(Ex)(y)Mother(x,y)      (Somebody is everybody's mother)
(Ex)(Ey)Mother(x,y)     (Somebody is somebody's mother)
(x)Mother(x,Arnold)     (Everybody is the mother of Arnold)
(x)Mother(Bernice,x)    (Bernice is the mother of everybody)
Mother(Arnold,Bernice)  (Arnold is the mother of Bernice)
...
...

等等恶心。

这里应该明确的是，如果一个公式有自由变量，因此表示一个谓词，这样的公式并不意味着任何特定的量化方式自由变量，或者它们应该被量化。