math - `1 XOR 1 OR 1` 在 bool 代数中是否有歧义？

Question

使用 bool 代数(不是特定的语言实现)，我们可以明确地评估 1 ^ 1 + 1(或 1 XOR 1 OR 1)吗？

我可以得出两个评价:

 [I]:  (1 ^ 1) + 1 = 0 + 1 = 1
[II]:  1 ^ (1 + 1) = 1 ^ 1 = 0

也许有一些规定的操作顺序，或者从左到右的评估顺序？或者这在 bool 代数中没有定义？

Answer 1

我们可以使用the rules of boolean algebra尝试计算表达式 1 XOR 1 OR 1。

现在:

• XOR 派生自 OR 这样 A XOR B = (¬A AND B) OR (¬B AND A);
• 关联性告诉我们A OR (B OR C) = (A OR B) OR C;
• 关联性还告诉我们 A AND (B AND C) = (A AND B) AND C

因此，采用评估顺序的任何一种可能解释:

  (1 XOR 1) OR 1                       1 XOR (1 OR 1)

即使我们没有定义从左到右的“评估顺序”，我们只需要这些规则来表明这两种可能的解释不是等价的:

= (¬1 AND 1) OR (¬1 AND 1) OR 1      = (¬1 AND (1 OR 1)) OR (¬(1 OR 1) AND 1)
= (0 AND 1) OR (0 AND 1) OR 1        = (0 AND 1) OR (0 AND 1)
= 0 OR 0 OR 1                        = 0 OR 0
= 1                                  = 0

除非我忘记了一些至关重要的相关公理，否则我已经确认您需要更多上下文来评估给定的表达式。

^{(当然，还要检查表达式 A XOR B OR C ∀A,B,C 当然要棘手得多!但是如果表达式对于所有三个输入中的一个值是不明确的，那么为什么还要检查其他任何值？)}

此上下文通常在特定于语言的评估顺序规则中提供。 C 类语言 give XOR a low precedence (里奇不喜欢的东西)；相比之下，数学约定dictates a left-to-right associativity其中没有其他公理可以应用，否则存在歧义。

所以，基本上，由于我们忽略了特定于语言的规则，您可能会选择 [I]。