linear-algebra - Metric 和 Norm 有什么区别？

Question

根据我的理解，指标定义了比规范更抽象的实体，但我觉得我并没有真正理解。有人可以用通俗易懂的语言向我解释一下吗？

Answer 1

范数 是一个只有在您拥有向量空间时才有意义的概念。它定义了向量大小的概念，可用于测量两个向量之间的距离作为其差值的大小。规范是线性的，因为它们保持(正)缩放。这意味着，如果您按比例缩小(缩放)矢量配置(仅在矢量空间中有意义的操作)，矢量之间的距离将按相同比例缩放。

度量 是一个更一般的概念，可以在没有底层代数结构的空间上进行预测。它们体现了距离的概念，独立于任何代数特征(在这些空间中甚至可能不存在)。如果你有一个范数，你就有一个距离，但你可以有一个距离而无需任何求和运算或标量操作。

还有第三个抽象层次，可以在没有任何距离的情况下表达邻近的概念。这些被称为拓扑空间，它们的体现不依赖于距离(或范数)的概念，而是依赖于邻域的概念。