java - 四元数串联仅在轴对齐时有效

Question

我有一个用于对象旋转的简单四元数实现。如果我创建两个四元数，表示绕同一轴对齐 vector (即沿 X、Y 或 Z 轴)的旋转，则结果与按其大小之和进行的单个旋转相同(即先旋转 PI/2，然后再旋转 PI)/2 与按 PI 旋转相同)。这很好。

一旦旋转轴不是轴对齐，连接就会偏离预期(按 PI/2 旋转，然后再次 PI/2 与按 PI 旋转不相同) 。这可不好。

仔细研究我的代码几天后，我没有发现任何问题，所以现在让我问:我是否在某种程度上从根本上误解了四元数的工作原理？我根据四元数所代表的轴角旋转来推理四元数，因为坦率地说，我并不完全理解四元数。

如果没有的话，你能看看我的代码吗？ :-) 我刚刚将整个内容(用 Java 编写——我的目标是 Android)推送到 GitHub: https://github.com/wtracy/quaternionsQuaternions目录下是一个Eclipse项目。 (您不需要 Eclipse 来读取任何内容，但这很方便。)四元数类位于 src/文件夹下。 test/文件夹中包含运行我的四元数类所需的 JUnit 测试和类 stub 。

我已尽力使我的代码和测试易于理解。我觉得在互联网上寻找我的代码中的错误很愚蠢，但我没有任何想法。 :-P

Answer 1

您的四元数乘法有符号错误。

public Quaternion times(Quaternion q2) {
    Quaternion q1 = this;
    float w = q1.w*q2.w - q1.x*q2.x - q1.y*q2.y - q1.z*q2.z;
    float x = q1.x*q2.w + q1.w*q2.x + q1.z*q2.y - q1.y*q2.z;
    float y = q1.w*q2.y - q1.x*q2.z + q1.y*q2.w + q1.z*q2.x;
    float z = q1.w*q2.z - q2.x*q2.y + q1.y*q2.x + q1.z*q2.w;
    return new Quaternion(w, x, y, z);
}

写出的产品是

(w1 + x1*i + y1*j + z1*k)*(w2 + x2*i + y2*j + z2*k)
= w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2
+ (w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2)*i
+ (w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2)*j
+ (w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2)*k

自从

i*j = k    j*i = -k
j*k = i    k*j = -i
k*i = j    i*k = -j

您在 x 和 z 等式中使用了错误的负项 - 如果两个轴相同，则不会产生任何影响，因为一个也可以写(作为简写)

(r + v)*(s + w) = r*s - <v|w> + r*w + s*v + v×w

和 v×w = 0 对于共线 vector ，但如果轴不同，则会显示出来。

此外，在 z 的等式中，

float z = q1.w*q2.z - q2.x*q2.y + q1.y*q2.x + q1.z*q2.w;
                          ^^^^^^^^^

您有一个拼写错误，对两个因素都使用了 q2 一次。

应该是

public Quaternion times(Quaternion q2) {
    Quaternion q1 = this;
    float w = q1.w*q2.w - q1.x*q2.x - q1.y*q2.y - q1.z*q2.z;
    float x = q1.x*q2.w + q1.w*q2.x - q1.z*q2.y + q1.y*q2.z;
    float y = q1.w*q2.y - q1.x*q2.z + q1.y*q2.w + q1.z*q2.x;
    float z = q1.w*q2.z + q1.x*q2.y - q1.y*q2.x + q1.z*q2.w;
    return new Quaternion(w, x, y, z);
}