Erlang 计算 Pi 到 X 位小数

Question

我收到这个问题是为了寻找解决方案。我正在努力理解递归。对问题进行一些分解会非常有帮助。

鉴于 Pi 可以使用函数 4 * (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …) 进行估计，更多项可以提供更高的精度，请编写一个函数来计算 Pi，精度为小数点后 5 位地点。

我有一些示例代码，但是我真的不明白变量在哪里/为什么这样输入。我们将不胜感激该代码的可能分解以及为什么它不准确。

-module (pi).
-export ([pi/0]).

pi() -> 4 * pi(0,1,1).

pi(T,M,D) ->
    A = 1 / D,
    if 
        A > 0.00001 -> pi(T+(M*A), M*-1, D+2);
        true -> T 
    end.

Answer 1

该公式来自于tg(pi/4)等于1的计算。其倒数为:

pi/4 = arctg(1)
so
pi = 4* arctg(1).
using the technique of the Taylor series:
arctg (x) = x - x^3/3 + ... + (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1) + o(x^(2n+1))
so when x = 1 you get your formula:
pi = 4 * (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …)

问题是找到 pi 的近似值，精度为 0.00001(小数点后 5 位)。看看公式，你会发现在每一步(1/3，1/5，...)添加新术语:

• 比前一个小，
• 具有相反的符号。

这意味着每一项都是 pi 的实际值与此项的评估之间误差的上限估计(项 o(x^(2n+1)))。因此，它可以用来将递归停止在保证近似值比此项更好的水平上。为了正确起见，该程序您建议将递归的最终结果乘以 4，因此不再保证误差小于 term。

查看代码:

pi() -> 4 * pi(0,1,1).
%  T = 0 is the initial estimation
%  M = 1 is the sign
%  D = 1 initial value of the term's index in the Taylor serie

pi(T,M,D) ->
    A = 1 / D,
% evaluate the term value
    if 
        A > 0.00001 -> pi(T+(M*A), M*-1, D+2);
%  if the precision is not reach call the pi function with, 
%  new serie's evaluation (the previous one + sign * term): T+(M*A)
%  new inverted sign: M*-1
%  new index: D+2
        true -> T
%  if the precision is reached, give the result T           
    end. 

为了确保您达到正确的精度，我建议将 A > 0.00001 替换为 A > 0.0000025 (= 0.00001/4) >)