r - 在紧凑支持 [0,alpha] 上集成类似 beta 函数的函数，alpha < 1

Question

我想集成以下名为 betalog 的函数

 g <- function(x,a,b){
         if (a < 0 | b < 0) stop()
         temp <- (a-1)*log(x) + (b-1)*log(1-x)
         return( exp(temp) )
       }

 betalog<- function(x,a,b)
   {
    temp <- g(x=x,a=a,b=b)* log(x/(1-x))
    return( temp )
   }

函数 g 是 beta 函数的被积函数。理论上，如果 0 < alpha < 1，且 a > 0，b >0，betalog 应该在任何 [0,alpha] 区间内可积。但是，我无法在数值上将 betalog 与非常小的 a 积分:

 a <- 0.00001
 b <- 1
 alpha <- 0.5
 integrate(betalog,a=a,b=b,lower=0,upper=alpha,subdivisions=1000000L)

 Error in integrate(betalog, a = a, b = b, lower = 0, upper = alpha, subdivisions =  
 1000000L) : 
 non-finite function value

事实上，当 a 非常小时，我什至无法使用 R 积分函数计算不完整的 beta 函数:

 integrate(g,a=a,b=b,lower=0,upper=alpha,subdivisions=1000000L)

 Error in integrate(g, a = a, b = b, lower = 0, upper = alpha, subdivisions = 1000000L) : 
 roundoff error is detected in the extrapolation table

任何人都可以告诉我在 R 中集成这种不完整的类似 beta 的函数的提示吗？

Answer 1

> betalog(0, a, b)
[1] -Inf

您的函数在下界处是奇异的。回想一下，要计算不正确的积分，您必须用虚拟变量替换奇异边界，并从正确的一侧向该边界取极限。特别是，

 >  integrate(betalog,a=a,b=b,lower=0.000001,upper=alpha,subdivisions=10000000L)
 -94.60292 with absolute error < 0.00014
 >  integrate(betalog,a=a,b=b,lower=.Machine$double.xmin * 1000,upper=alpha,subdivisions=10000
 -244894.7 with absolute error < 10
 > integrate(betalog,a=a,b=b,lower=.Machine$double.xmin,upper=alpha,subdivisions=10000000L)
 Error in integrate(betalog, a = a, b = b, lower = .Machine$double.xmin,  :
   non-finite function value

我怀疑你的积分发散，但这可能很棘手，因为即使是最先进的符号代数系统也无法证明:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral%28x%5E%280.00001+-1%29+ln%28x%2F%281-x%29%29%2C+x%2C0%2C+0.5%29

无论如何，R 都不是解决这个问题的正确工具。