math - 给定一个具有固定端点的三次贝塞尔曲线，当给定一个要检查的 y 位置时，如何找到沿它的点的 x 位置？

Question

假设我有一条具有两个固定端点的贝塞尔曲线，一个位于 x(0), y(1) ，一个位于 x(1), y(0)(左下角和右上角)现在假设我有两个控制点，它们可以位于 x(0)、x(1)、y(0) 和 y(1) 之间的任何位置。对于这个问题，我只说控制点 #1 位于 x(0.1) y(0.6)，控制点 #2 位于 x(0.9) 和 y(0.4)。 (这假设一个“从左上角”的坐标系)

这是我们曲线的一个小例子:

现在假设我的 y 位置为 0.7。算出对应的 x 位置与 y(0.7) 处的点对应的数学是什么样子的？我该怎么做？

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很抱歉，如果这个问题不属于这里，但我认为这是编码中面临的一个常见问题，很可能你们中的许多人都有我正在寻找的答案。

Answer 1

你有函数 X(t) 和 Y(t) 的三次方程，其中 t 是曲线参数(范围 0 ..1 曲线上的点)。在 Bernstein 多项式基础中(曲线定义的常用形式):

X(t) = P0.X*(1-t)^3+3*P1.X*(1-t)^2*t+3*P2.X*(1-t)*t^2+P3.X*t^3
Y(t) = P0.Y*(1-t)^3+3*P1.Y*(1-t)^2*t+3*P2.Y*(1-t)*t^2+P3.Y*t^3

有了 Y 值，我们可以找到相应的 t 参数 - 注意 0..1 范围内可能有 0 到 3 个可能的根>。 Y分量在幂基中的表示:

Y(t) = P0.Y*(1-t)^3+3*P1.Y*(1-t)^2*t+3*P2.Y*(1-t)*t^2+P3.Y*t^3 = 
       t^3*(P3Y-3P2Y+3P1Y-P0Y) + t^2*(3P2Y-6P1Y+3P0Y) + t^2*(3P1Y-3P0Y) + (P0Y) = 
       t^3*a + t^2*b + t^2*c + d' = y_position 

最后三次方程是:

t^3*a + t^2*b + t^2*c + d = 0
   where
a = P3.Y-3*P2.Y+3*P1.Y-P0.Y
b = 3*P2.Y-6*P1.Y+3*P0.Y
c = 3*P1.Y-3*P0.Y
d = P0.Y - y_position

 

解决cubic equation计算t(可能是波浪曲线的一些值)

然后对于给定的t计算相应的X值:

X(t) = P0.X*(1-t)^3+3*P1.X*(1-t)^2*t+3*P2.X*(1-t)*t^2+P3.X*t^3