math - 对于 IEEE-754 浮点运算，尾数是在 [0.5, 1) 还是 [1, 2) 中？

Question

我在看几本教科书，包括 Trefethen 和 Bau 的数值线性代数，在浮点运算部分，他们似乎说在 IEEE-754 中，归一化 float 采用形式 .1.... X 2^e。即，假设尾数在 0.5 到 1 之间。

但是，在这个popular online floating point calculator , 说明归一化 float 的尾数在 1 和 2 之间。

谁能告诉我哪个是正确的方法？

Answer 1

所有的方法都是正确的。以下集合是相同的:

• { (−1)^s•f•2^e | s ∈ {0, 1}，f为24位二进制数，第一个数字后有小数点，e 是满足 −126 ≤ e ≤ 127 } 的整数。
• { (−1)^s•f•2^e | s ∈ {0, 1}, f 是第一个数字前有小数点的24位二进制数的值，e 是满足 −125 ≤ e ≤ 128 } 的整数。
• { (−1)^s•f•2^e | s ∈ {0, 1}，f为最后一位后带小数点的24位二进制数的值，e 是满足 −149 ≤ e ≤ 104} 的整数。
• { f•2^e | f 是一个整数，使得 |f| < 2²⁴，e 是满足 −149 ≤ e ≤ 104 } 的整数。

换句话说，我们可以将小数点放在我们想要的有效数字的任何位置，只需通过调整指数的范围来补偿即可。可以根据方便或偏好选择使用哪种形式。

第三种形式对有效数进行缩放，使其成为整数，第四种形式将符号合并到有效数中。这种形式便于使用数论分析浮点行为。

IEEE 754 多采用第一种形式。它将此称为“一种科学形式”，反射(reflect)了这样一个事实，即在科学记数法中，我们通常在第一位数字后面写一个小数点，如“地球的质量约为 5.9722•10 ^{24 公斤。”在第 3.3 条中，IEEE 754-2008 提到“出于某些目的，将有效数字视为整数也很方便；在这种情况下，有限 float 是这样描述的:”，后跟等同于上面第三种形式的文本，除了它是通用的(基数和其他参数是任何浮点格式的任意值，而不是我使用的常量以上专门针对 binary32 格式)。}

C 标准以第二种形式描述数字(对于任何基数，不一定是二)，小数点在第一个数字之前，其 frexp 函数提供的指数与此比例匹配.