haskell - 如何读取这个GHC核心 "proof"？

Question

我写了一小段 Haskell 来弄清楚 GHC 如何证明对于自然数，你只能将偶数减半:

{-# LANGUAGE DataKinds, GADTs, KindSignatures, TypeFamilies #-}
module Nat where

data Nat = Z | S Nat

data Parity = Even | Odd

type family Flip (x :: Parity) :: Parity where
  Flip Even = Odd
  Flip Odd  = Even

data ParNat :: Parity -> * where
  PZ :: ParNat Even
  PS :: (x ~ Flip y, y ~ Flip x) => ParNat x -> ParNat (Flip x)

halve :: ParNat Even -> Nat
halve PZ     = Z
halve (PS a) = helper a
  where helper :: ParNat Odd -> Nat
        helper (PS b) = S (halve b)

核心的相关部分变为:

Nat.$WPZ :: Nat.ParNat 'Nat.Even
Nat.$WPZ = Nat.PZ @ 'Nat.Even @~ <'Nat.Even>_N

Nat.$WPS
  :: forall (x_apH :: Nat.Parity) (y_apI :: Nat.Parity).
     (x_apH ~ Nat.Flip y_apI, y_apI ~ Nat.Flip x_apH) =>
     Nat.ParNat x_apH -> Nat.ParNat (Nat.Flip x_apH)
Nat.$WPS =
  \ (@ (x_apH :: Nat.Parity))
    (@ (y_apI :: Nat.Parity))
    (dt_aqR :: x_apH ~ Nat.Flip y_apI)
    (dt_aqS :: y_apI ~ Nat.Flip x_apH)
    (dt_aqT :: Nat.ParNat x_apH) ->
    case dt_aqR of _ { GHC.Types.Eq# dt_aqU ->
    case dt_aqS of _ { GHC.Types.Eq# dt_aqV ->
    Nat.PS
      @ (Nat.Flip x_apH)
      @ x_apH
      @ y_apI
      @~ <Nat.Flip x_apH>_N
      @~ dt_aqU
      @~ dt_aqV
      dt_aqT
    }
    }

Rec {
Nat.halve :: Nat.ParNat 'Nat.Even -> Nat.Nat
Nat.halve =
  \ (ds_dJB :: Nat.ParNat 'Nat.Even) ->
    case ds_dJB of _ {
      Nat.PZ dt_dKD -> Nat.Z;
      Nat.PS @ x_aIX @ y_aIY dt_dK6 dt1_dK7 dt2_dK8 a_apK ->
        case a_apK
             `cast` ((Nat.ParNat
                        (dt1_dK7
                         ; (Nat.Flip (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6))_N
                         ; Nat.TFCo:R:Flip[0]))_R
                     :: Nat.ParNat x_aIX ~# Nat.ParNat 'Nat.Odd)
        of _
        { Nat.PS @ x1_aJ4 @ y1_aJ5 dt3_dKa dt4_dKb dt5_dKc b_apM ->
        Nat.S
          (Nat.halve
             (b_apM
              `cast` ((Nat.ParNat
                         (dt4_dKb
                          ; (Nat.Flip
                               (dt5_dKc
                                ; Sym dt3_dKa
                                ; Sym Nat.TFCo:R:Flip[0]
                                ; (Nat.Flip (dt_dK6 ; Sym dt2_dK8))_N
                                ; Sym dt1_dK7))_N
                          ; Sym dt_dK6))_R
                      :: Nat.ParNat x1_aJ4 ~# Nat.ParNat 'Nat.Even)))
        }
    }
end Rec }

我知道通过 Flip 类型系列的实例转换类型的一般流程，但有些事情我无法完全遵循:

• @~ <Nat.Flip x_apH>_N是什么意思？ ？它是 x 的 Flip 实例吗？这与 @ (Nat.Flip x_apH) 有什么不同？我对 < > 都感兴趣和_N

关于halve中的第一个 Actor :

• 做什么 dt_dK6 , dt1_dK7和dt2_dK8代表？我知道它们是某种等价证明，但哪个是哪个？
• 据我了解 Sym向后遍历等价
• ;有什么作用？的呢？等价证明只是按顺序应用吗？
• 这些是什么 _N和_R后缀？
• 是 TFCo:R:Flip[0]和TFCo:R:Flip[1] Flip 的实例？

Answer 1

@~是强制应用。

尖括号表示其所包含类型的自反强制，其角色由下划线字母给出。

因此<Nat.Flip x_ap0H>_N是一个等式证明 Nat.Flip x_apH等于Nat.Flip x_apH名义上(作为相同的类型而不仅仅是相同的表示)。

PS有很多争论。我们看一下智能构造函数$WPS我们可以看到前两个分别是x和y的类型。我们有证据证明构造函数参数是 Flip x (在本例中，我们有 Flip x ~ Even 。然后我们有证明 x ~ Flip y 和 y ~ Flip x 。最后一个参数的值是 ParNat x 。

我现在将介绍 Nat.ParNat x_aIX ~# Nat.ParNat 'Nat.Odd 类型的第一个转换

我们从 (Nat.ParNat ...)_R 开始。这是一个类型构造函数应用程序。它解除了 x_aIX ~# 'Nat.Odd 的证明至Nat.ParNat x_aIX ~# Nat.ParNat 'Nat.Odd 。 R意味着它代表性地执行此操作，意味着类型是同构但不相同(在本例中它们是相同的，但我们不需要这些知识来执行转换)。

现在我们看证明的主体(dt1_dK7 ; (Nat.Flip (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6))_N; Nat.TFCo:R:Flip[0]) 。 ;意味着传递性，即按顺序应用这些证明。

dt1_dK7是 x_aIX ~# Nat.Flip y_aIY 的证明.

如果我们看 (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6) 。 dt2_dK8显示y_aIY ~# Nat.Flip x_aIX 。 dt_dK6类型为'Nat.Even ~# Nat.Flip x_aIX 。所以Sym dt_dK6类型为Nat.Flip x_aIX ~# 'Nat.Even和(dt2_dK8 ; Sym dt_dK6)类型为y_aIY ~# 'Nat.Even

因此(Nat.Flip (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6))_N证明 Nat.Flip y_aIY ~# Nat.Flip 'Nat.Even .

Nat.TFCo:R:Flip[0]是翻转的第一条规则，即 Nat.Flip 'Nat.Even ~# 'Nat.Odd' .

将这些放在一起，我们得到 (dt1_dK7 ; (Nat.Flip (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6))_N; Nat.TFCo:R:Flip[0])类型为x_aIX #~ 'Nat.Odd .

第二个更复杂的 Actor 阵容有点难计算，但应该遵循相同的原则。