r - 在 R 中编码复杂的积分和限制

Question

我正在尝试在 R 中集成一个复杂的对数函数，但我不确定如何定义它。

另外，当我写 say x*i 时，我得到 i is not defined ... 但它是对数 1 的平方根，不是吗？如果我写 5i 我没问题，但是 5*i 会出错。

我用一些数字 x 和 y 来定义。通常，以下代码会给我一个错误

fun <- function(x + y*i){1/(x + y*i)}

integrate(fun,5+0i,10+0i)

以下代码有效

lower = 5

upper = 10

z <- complex(real = x, imaginary = y)

fun <- function(z){1/z}

integrate(fun,lower,upper) 

但是如何计算轮廓积分呢？这是双积分，真的，我不知道如何在这里实现它。

更重要的是，我想采用涉及复对数的右手极限(即 lim Y -> 0+)，等于 (1)，其中 Y 减小到 0，而 X 是固定的。在这里，我无法毫无错误地定义我的复杂函数和变量。

Answer 1

复杂的集成是沿着路径的集成。您可以按弧长对路径进行参数化，即使用实际间隔。(结果实际上取决于路径。)

人们期望能够计算1/z 沿-2-1i 和2-1i 之间直线的积分如下(注意使用 1i 而不是 i)。

f <- function(s) {
  z <- s-1i
  1/z
}
integrate( f, -2, 2 ) # Fails

但是 integrate 只适用于实数。您需要分别计算实部和虚部。

integrate( function(s) Re(f(s)), -2, 2 )$value +
1i * integrate( function(s) Im(f(s)), -2, 2 )$value
# [1] 0+2.214297i