python - 使用新的观察数据更新 PyMC3 上的模型

Question

我去年测量了 80 个水果的直径，在检查了值的最佳分布后，我创建了一个 PyMC3 模型

with Model() as diam_model:
    mu = Normal('mu',mu=57,sd=5.42)
    sigma = Uniform('sigma',0,10)

之后，据我所知，我已经用我之前的数据(80 个值)“训练”了模型

with diam_model:
    dist = Normal('dist',mu=mu,sd=sigma, observed=prior_data.values)

with diam_model:
    samples=fit().sample(1000)

然后我使用了samples 的plot_posterior，还返回了均值和 HPD。

我的想法是今年再次测量使用贝叶斯更新来减少样本量。如何添加单个值并更新后验，期望 HPD 越来越小？

Answer 1

核密度估计更新先验

使用建议重复的另一个答案，可以使用 this Jupyter notebook 中的代码提取先验的近似版本。 .

第一轮

我假设我们有来自第一轮抽样的数据，我们可以对其施加平均值 57.0 和标准差 5.42。

import numpy as np
import pymc3 as pm
from sklearn.preprocessing import scale
from scipy import stats

# generate data forced to match distribution indicated
Y0 = 57.0 + scale(np.random.normal(size=80))*5.42

with pm.Model() as m0:
    # let's place an informed, but broad prior on the mean
    mu = pm.Normal('mu', mu=50, sd=10)
    sigma = pm.Uniform('sigma', 0, 10)
    
    y = pm.Normal('y', mu=mu, sd=sigma, observed=Y0)
    
    trace0 = pm.sample(5000, tune=5000)

从后验中提取新的先验

然后我们可以使用此模型的结果通过以下代码从参数中提取 KDE 后验概率 the referenced notebook :

def from_posterior(param, samples, k=100):
    smin, smax = np.min(samples), np.max(samples)
    width = smax - smin
    x = np.linspace(smin, smax, k)
    y = stats.gaussian_kde(samples)(x)
    
    # what was never sampled should have a small probability but not 0,
    # so we'll extend the domain and use linear approximation of density on it
    x = np.concatenate([[x[0] - 3 * width], x, [x[-1] + 3 * width]])
    y = np.concatenate([[0], y, [0]])
    return pm.Interpolated(param, x, y)

第二轮

现在，如果我们有更多数据，我们可以使用 KDE 更新先验运行新模型:

Y1 = np.random.normal(loc=57, scale=5.42, size=100)

with pm.Model() as m1:
    mu = from_posterior('mu', trace0['mu'])
    sigma = from_posterior('sigma', trace0['sigma'])
    
    y = pm.Normal('y', mu=mu, sd=sigma, observed=Y1)
    
    trace1 = pm.sample(5000, tune=5000)

同样，可以使用此轨迹为 future 几轮传入数据提取更新的后验估计。

买者自负

上述方法产生了真实更新先验的近似值，并且在共轭先验不可能的情况下最有用。还应该注意的是，我不确定这种基于 KDE 的近似值引入误差的程度以及它们在重复使用时如何在模型中传播。这是一个巧妙的技巧，但在没有进一步验证其稳健性的情况下将其投入生产时应该谨慎。

特别是，我会非常关注后验分布具有强相关结构的情况。此处提供的代码仅使用每个潜在变量的边缘生成一个“先验”分布。这对于像这样的简单模型来说似乎很好，而且不可否认，初始先验也缺乏相关性，所以这在这里可能不是一个大问题。然而，一般来说，对边缘进行汇总涉及丢弃有关变量如何相关的信息，而在其他情况下，这可能相当重要。例如，Beta 分布的默认参数化总是导致后验相关参数，因此上述技术是不合适的。相反，我们需要推断一个包含所有潜在变量的多维 KDE。

---

共轭模型

但是，在您的特定情况下，预期分布是高斯分布，并且这些分布具有 established closed-form conjugate models ，即有原则的解决方案而不是近似值。我强烈建议完成 Kevin Murphy's Conjugate Bayesian analysis of the Gaussian distribution .

正态-逆 Gamma 模型

正态-逆 Gamma 模型估计观察到的正态随机变量的均值和方差。均值是用正常先验建模的；具有反 Gamma 的方差。该模型使用四个参数作为先验:

mu_0  = prior mean
nu    = number of observations used to estimate the mean
alpha = half the number of obs used to estimate variance
beta  = half the sum of squared deviations

根据您的初始模型，我们可以使用这些值

mu_0  = 57.0
nu    = 80
alpha = 40
beta  = alpha*5.42**2

然后您可以绘制先验的对数似然，如下所示:

# points to compute likelihood at
mu_grid, sd_grid = np.meshgrid(np.linspace(47, 67, 101), 
                               np.linspace(4, 8, 101))

# normal ~ N(X | mu_0, sigma/sqrt(nu))
logN = stats.norm.logpdf(x=mu_grid, loc=mu_0, scale=sd_grid/np.sqrt(nu))

# inv-gamma ~ IG(sigma^2 | alpha, beta)
logIG = stats.invgamma.logpdf(x=sd_grid**2, a=alpha, scale=beta)

# full log-likelihood
logNIG = logN + logIG

# actually, we'll plot the -log(-log(likelihood)) to get nicer contour
plt.figure(figsize=(8,8))
plt.contourf(mu_grid, sd_grid, -np.log(-logNIG))
plt.xlabel("$\mu$")
plt.ylabel("$\sigma$")
plt.show()

更新参数

给定新数据Y1，更新参数如下:

# precompute some helpful values
n = Y1.shape[0]
mu_y = Y1.mean()

# updated NIG parameters
mu_n = (nu*mu_0 + n*mu_y)/(nu + n)
nu_n = nu + n
alpha_n = alpha + n/2
beta_n = beta + 0.5*np.square(Y1 - mu_y).sum() + 0.5*(n*nu/nu_n)*(mu_y - mu_0)**2

为了说明模型的变化，让我们从稍微不同的分布中生成一些数据，然后绘制生成的后验对数似然:

np.random.seed(53211277)
Y1 = np.random.normal(loc=62, scale=7.0, size=20)

产生

在这里，20 个观测值不足以完全移动到我提供的新位置和比例，但两个参数似乎都朝那个方向移动。