matlab - 在 Matlab 中检查给定原始矩阵和更改矩阵的行交换

Question

我已经尝试解决这个问题有一段时间了，希望能得到一些见解。假设你有矩阵 A，然后交换行，直到得到矩阵 B；

A = [1 3 1;
3 2 1;
2 3 1;];

B = [3 2 1;
1 3 1;
2 3 1;];

invA =

    0.0000   -1.0000    1.0000
   -1.0000   -1.0000    2.0000
    3.0000    5.0000   -7.0000


invB =

   -1.0000    0.0000    1.0000
   -1.0000   -1.0000    2.0000
    5.0000    3.0000   -7.0000

我将如何记录这些行开关？我最终试图改变 B 的逆来与 A 的逆相匹配。我的结论是，给定 2 行交换(也称为第 1 行和第 2 行之间)，逆的最终结果将是相同的，除了切换 <逆 B 的 (1 和 2) 的列。

Answer 1

这是一个非常基本的代数问题。
您可以将矩阵 B 写为 permutation matrix 的乘积。 P 和 A:

B = PA;

(在您的示例中:P = [0 1 0;1 0 0;0 0 1];)。
现在您可以反转 B:

inv( B ) = inv( PA ) 

乘积的逆是

         = inv(A) * inv(P)

由于矩阵P是一个置换矩阵:inv(P) = P.'。因此

         = inv(A) * P.'

也就是说，inv(B) = inv(A) * P.' 这意味着您将排列 P 应用于 inv( A).

请注意，排列P可以表示行之间的多个切换，此外，排列可以相乘以考虑行的重复切换。

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重要的评论:我在这个答案中使用inv来表示矩阵的逆。然而，当运行 Matlab 和数值求逆矩阵时 it is un-recommended to use inv function明确地。