r - R 的 {pracma} 和 {numDeriv} 库中的 grad 函数给出了错误的结果

Question

我对自定义函数pTgh_y(q,g,h)关于q的一阶数值导数感兴趣。对于特殊情况，pTgh_y(q,0,0) = pnorm(q)。换句话说，当 g=h=0 时，pTgh_y(q,g,h) 被简化为标准法线的 CDF(见下图)。

这意味着 d pTgh_y(0,0,0)/dq 应等于以下内容

dnorm(0)

0.3989423

grad(pnorm,0)

0.3989423

以下是我对 {pracma} 库中的 grad 函数的一些尝试。

library(pracma)
# load pTgh and all relevant functions
grad(function(x){pTgh_y(x,0,0)},0)

0

grad(function(x){pTgh_y(x,0,0)},0,heps=1e-10)

0

以下是我对 {numDeriv} 库中的 grad 函数的一些尝试。

library(numDeriv)
# load pTgh and all relevant functions
grad(function(x){pTgh_y(x,0,0)},0,method='simple')

0.3274016

grad(function(x){pTgh_y(x,0,0)},0,method='Richardson')

-0.02505431

grad(function(x){pTgh_y(x,0,0)},0,method='complex')

Error in pmin(x, .Machine$double.xmax) : invalid input type Error in grad.default(function(x) { : function does not accept complex argument as required by method 'complex'.

这些函数都没有给出正确的结果。

我的pTgh_y(q,g,h)函数定义如下

qTgh_y = function(p,g,h){                             
  zp = qnorm(p)
  if(g==0) q = zp                                    
  else     q = (exp(g*zp)-1)*exp(0.5*h*zp^2)/g       
  q[p==0] = -Inf
  q[p==1] = Inf
  return(q)
}

pTgh_y = function(q,g,h){                      
  if (q==-Inf) return(0)
  else if (q==Inf) return(1)
  else { 
    p = uniroot(function(t){qTgh_y(t,g,h)-q},interval=c(0,1))
    return(p$root)
  } 
}

Answer 1

你的函数在 0 附近平坦，因此计算 0 的导数是正确的:

f = function(x){pTgh_y(x,0,0)}
h = 0.00001; f(0+h); f(0-h)
# [1] 0.5
# [1] 0.5

library(pracma)
grad(f, 0, heps=1e-02); grad(f, 0, heps=1e-03);
grad(f, 0, heps=1e-04); grad(f, 0, heps=1e-05)
# [1] 0.3989059
# [1] 0.399012
# [1] 0.4688766
# [1] 0

您需要提高函数pTgh_y的准确性:

pTgh_y = function(q,g,h){                      
    if (q==-Inf) return(0)
    else if (q==Inf) return(1)
    else { 
        p = uniroot(function(t){qTgh_y(t,g,h)-q},interval=c(0,1),
                    tol = .Machine$double.eps)
        return(p$root)
    } 
}

现在你得到了你想要的结果:

f = function(x){pTgh_y(x,0,0)}
grad(f, 0)
[1] 0.3989423