julia - Julia 中求解 n 阶多项式根的通用函数

Question

全部，

我刚刚开始使用 Julia 语言并且非常喜欢它。在第三个教程的末尾有一个有趣的问题:泛化二次公式，使其求解任意 n-order polynomial equation 的根。 .

这让我觉得 (a) 是一个有趣的编程问题，(b) 是一个有趣的 Julia 问题。有没有人解决了这个问题？作为引用，这里是 Julia 代码和几个玩具示例。同样，我们的想法是让这个函数适用于任何 n 阶多项式。

干杯，

亚伦

function derivative(f)
    return function(x)
        # pick a small value for h
        h = x == 0 ? sqrt(eps(Float64)) : sqrt(eps(Float64)) * x

        # floating point arithmetic gymnastics
        xph = x + h
        dx = xph - x

        # evaluate f at x + h
        f1 = f(xph)

        # evaluate f at x
        f0 = f(x)

        # divide the difference by h
        return (f1 - f0) / dx
    end
end


function quadratic(f)

    f1 = derivative(f)

    c = f(0.0)

    b = f1(0.0)

    a = f(1.0) - b - c

    return (-b + sqrt(b^2 - 4a*c + 0im))/2a, (-b - sqrt(b^2 - 4a*c + 0im))/2a
end

quadratic((x) -> x^2 - x - 2)
quadratic((x) -> x^2 + 2)

Answer 1

包裹PolynomialRoots.jl提供函数 roots() 来查找任意阶多项式的所有(实数和复数)根。唯一的强制参数是包含多项式系数的升序数组。

例如，为了找到根

6x^5 + 5x^4 + 3x^2 + 2x + 1

加载包后(使用 PolynomialRoots)，您可以使用

julia> roots([1, 2, 3, 4, 5, 6])
5-element Array{Complex{Float64},1}:
           0.294195-0.668367im
 -0.670332+2.77556e-17im
           0.294195+0.668367im
          -0.375695-0.570175im
          -0.375695+0.570175im

该包是本文中描述的寻根算法的 Julia 实现:http://arxiv.org/abs/1203.1034

PolynomialRoots.jl 还支持任意精度计算。这对于求解无法以 double 求解的方程非常有用。例如

julia> r = roots([94906268.375, -189812534, 94906265.625]);

julia> (r[1], r[2])
(1.0000000144879793 - 0.0im,1.0000000144879788 + 0.0im)

给出多项式的错误结果，而是以任意精度传递输入数组，强制进行任意精度计算以提供正确的答案(请参阅 https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance ):

julia> r = roots([BigFloat(94906268.375), BigFloat(-189812534), BigFloat(94906265.625)]);

julia> (Float64(r[1]), Float64(r[2]))
(1.0000000289759583,1.0)