math - 等距点的三次插值

Question

我正在尝试创建点列表的插值。

我有一些坐标点(ti，xi)，其中ti是时间戳，而xi是关联的值。我想创建一个通过这些点的函数，并允许我找到与位于间隔中的通用t对应的x值。

我想用三阶插值对它们进行插值。我已经看到过类似catmull-rom插值的方法，但是只有在点xi等距时它才起作用。

例如，在这里http://www.mvps.org/directx/articles/catmull/，您可以发现时间戳记点是等距的，就像这里http://www.cs.cmu.edu/~462/projects/assn2/assn2/catmullRom.pdf一样。

有一些方法可以对非规则点应用三次插值？

Answer 1

只要它们都是不同的，则参数的不等距就不成问题。如您所知，如果您有四个不同的时间t[i]，那么将存在一个对应的值x[i]的唯一多项式插值，其度数最多为3(立方或更低阶)。

有两种主要方法可计算插值Newton's divided-differences和Lagrange's method of interpolation。

请记住，仅找到多项式不是重点，而是在间隔中的其他时间对其进行评估，需要考虑一些编程折衷。

如果t[i]的时间是固定的，但是x[i]的值反复更改，则使用Lagrange的方法可能会很不方便。它基本上构造了四个三次多项式，它们在四个点中的三个处生根，并在剩余点处给出归一化值1。一旦有了这四个多项式，就可以对值x[i]进行插值，只是采用它们的相应线性组合即可。拉格朗日的方法患有Runge's phenomenon at the edges of the interval。

但是，如果t[i]的时间不断变化，或者您正在针对相同t[i], x[i]数据的多个中间点评估插值多项式，则Newton's divided differences可能会更好。如果精度很重要，则可以更改t[i]出现在除差表中的顺序，以便将评估集中在最接近需要该值的中间时间的时间处。

在Web上找到牛顿的除数差分法的示例代码并不难。在C++，Python或Java中。