绘制分形火焰

Question

让我从我一直在阅读的 PDF 链接开始，让我开始绘​​制分形火焰。

http://flam3.com/flame_draves.pdf

根据 Draves 的伪代码，我使用提供的三个函数轻松绘制了 Sierpinski 垫片:

F0(x, y) = ( x/2 , y/2 ) 
F1(x, y) = ( x+1/2 , y/2 ) 
F2(x, y) = ( x/2 , y+1/2 )

伪代码:

(x, y)= a random point in the bi-unit square
iterate { 
    i = a random integer from 0 to n − 1 inclusive
    (x, y) = Fi(x, y)
    plot (xf , yf ) except during the first 20 iterations
}

据我所知，分形火焰是通过应用变体(非仿射函数)制作的，但如果我们查看附录中的变体目录，第一张图像(变体 0)应该是使用恒等变体制作的。

现在我无法理解如何仅使用一个函数创建这样的图像，在该函数之上是一个恒等函数。 (当我们在随机选择的像素上应用恒等函数时，它不会只无限地绘制一个像素吗？)

我不清楚我是否应该使用与 Sierpinski 垫圈相同的伪代码，或者是否还有其他一些我在这里没有看到的陷阱？

编辑:这是包含用 Java 编写的分形火焰图像生成器的最终产品:https://github.com/xtrinch/fractal_generator

Answer 1

Now I can't wrap my head around how can an image like that have been created with using only one function, on top of which an identity function. (Wouldn't it only draw one pixel infinitely as we are applying identity function on a randomly chosen pixel?)

然而，这些变体并不单独使用。相反，它们应用于 i 个可能的仿射变换的结果。请引用第 4 页底部“3 种变化”标题下的公式:

F_i(x, y) = Vj(a_ix + b_iy + c_i, d_ix + e_iy + f_i)

如果 j 为 0 并且您使用的是变体 0:

V₀(x, y) = (x, y)

然后

F_i(x, y) = (a_ix + b_iy + c_i, d_ix + e_iy + f_i)

换句话说，使用变化 0 只是意味着一个简单的仿射变换，没有应用任何额外的变化。 a、b、c、d、e、f 是 F_i 的仿射变换参数，您将拥有 i 组参数。

如果 j 为 1，则变化函数为:

V₁(x, y) = (sin (x), sin(y))

所以

F_i(x, y) = (sin(a_ix + b_iy + c_i), sin(d_ix + e_iy + f_i))

等等。

如前所述，对于每个 i 函数，每个变体都可以有一个混合参数 v_ij，因此您可以计算仿射变换，将所有不同的变体函数应用于仿射变换点，然后根据混合因子将结果混合在一起。