- html - 出于某种原因,IE8 对我的 Sass 文件中继承的 html5 CSS 不友好?
- JMeter 在响应断言中使用 span 标签的问题
- html - 在 :hover and :active? 上具有不同效果的 CSS 动画
- html - 相对于居中的 html 内容固定的 CSS 重复背景?
我希望计算应用了变换矩阵(旋转、缩放、平移等)的 2D 椭圆的轴对齐边界框 (AABB)
类似于此解决方案的内容:Calculating an AABB for a transformed sphere
到目前为止,它似乎不适用于 2D 椭圆。
这是我得到的(伪代码):
Matrix M; // Transformation matrix (already existing)
Matrix C = new Matrix( // Conic matrix
radiusX, 0, 0,
0, radiusY, 0,
0, 0, -1
);
Matrix MT = M.transpose();
Matrix CI = C.inverse();
Matrix R = M*CI*MT;
int minX = (R13 + sqrt(R13^2 - (R11 * R33))) / R33;
int minY = (R23 + sqrt(R23^2 - (R22 * R33))) / R33;
// maxX etc...
// Build AABB Rectangle out of min & max...
radiusX = 2
radiusY = 2 // To keep it simple, M is identity
// (no transformation on the ellipse)
M = /1 0 0\ // /M11 M21 M31\
|0 1 0| // |M12 M22 M32| Transform matrix format
\0 0 1/ // \0 0 1 /
C = /2 0 0\ // C as conic
|0 2 0|
\0 0 -1/
CI =/0.5 0 0\ // CI as dual conic
|0 0.5 0|
\0 0 -1/
R = /1 0 0\ * /0.5 0 0\ * /1 0 0\ // R = M*CI*MT
|0 1 0| |0 0.5 0| |0 1 0|
\0 0 1/ \0 0 -1/ \0 0 1/
= /0.5 0 0\ // /R11 R12 R13\
|0 0.5 0| // |R12 R22 R23| (R is symmetric)
\0 0 -1/ // \R13 R23 R33/
minX = (0 + sqrt(0^2 - (0.5 * -1))) / -1
= -0.7071 // Should be -2
// Also, using R = MIT*C*MI
// leads to -1.4142
Matrix M;
Matrix C = new Matrix(
1/radiusX^2, 0, 0,
0, 1/radiusY^2, 0,
0, 0, -1
);
Matrix MT = M.transpose();
Matrix CI = C.inverse();
Matrix R = M*CI*MT;
int minX = (R13 + sqrt(R13^2 - (R11 * R33))) / R33;
int minY = (R23 + sqrt(R23^2 - (R22 * R33))) / R33;
Matrix M;
int xOffset = sqrt((M11^2 * radiusX^2) + (M21^2 * radiusY^2));
int yOffset = sqrt((M12^2 * radiusX^2) + (M22^2 * radiusY^2));
int centerX = (M11 * ellipse.x + M21 * ellipse.y) + M31; // Transform center of
int centerY = (M12 * ellipse.x + M22 * ellipse.y) + M32; // ellipse using M
// Most probably, ellipse.x = 0 for you, but my implementation has an actual (x,y) AND a translation
int xMin = centerX - xOffset;
int xMax = centerX + xOffset;
int yMin = centerY - yOffset;
int yMax = centerY + yOffset;
最佳答案
从双圆锥
所以你说 M
是变换矩阵。但是它转换了什么,是点还是线?我假设点。您如何将点表示为行向量(点在左侧,矩阵在右侧),或作为列向量(矩阵在左侧,点在乘法右侧)?我将假设列向量。所以转换将是 p' = M*p
有一点p
.
接下来是 C
.你写的方式,这是一个椭圆,但不是你正在使用的半径。如果满足 (x/radiusX)^2 + (y/radiusY)^2 = 1
,则点位于椭圆上所以主对角线上的值必须是 (1/radiusX^2, 1/radiusY^2, -1)
.在我的答案的先前修订中,我一再错过了这个错误。
接下来你将这些东西结合起来。假设 CP
是原始圆锥曲线,即圆锥曲线作为一组点。然后你可以通过做 MT.inverse()*CP*M.inverse()
获得转换后的版本.原因是因为你申请了M.inverse()
到每个点,然后检查它是否位于原始圆锥上。但是您没有使用 M.inverse()
, 您正在使用 M
.这表明您尝试变换双圆锥曲线。如 M
转换点,然后 MT.inverse()
变换线条,所以 M*CD*MT
如果 CD
是正确的转换是双圆锥曲线。
如果 R
是双圆锥曲线,那么你的公式是正确的。所以也许你的代码的主要问题是你忘记在矩阵中使用反半径 C
.
从原始圆锥
当我第一次阅读您的帖子时,我认为 R
将描述一组点,即一个点 (x,y)
如果 (x,y,1)*R*(x,y,1).transpose()=0
位于那个椭圆上.基于此,我确实想出了 AABB 的公式,而不使用双圆锥曲线。我并不是说这更简单,尤其是当您将矩阵求逆作为构建块时更是如此。但我还是把它留在这里以供引用。请记住,R
本段中的内容与您的代码示例中使用的内容不同。
对于我的方法,请考虑 R*(1,0,0)
(这只是 R
的第一列)是一些向量 (a,b,c)
您可以将其解释为线的定义 ax+by+c=0
. Intersect that line with the conic然后你得到切线水平的点,它们是 y
中的极值方向。对 R*(0,1,0)
执行相同操作(即第二列)在 x
中找到极值方向。
这里的关键思想是 R*p
计算某个点的极线 p
,因此我们正在为 x
中的无穷远点构建极线。分别y
方向。该极线将在切线通过 p
的点处与圆锥相交。触摸圆锥,在这种情况下,圆锥是水平的。垂直切线,因为平行线在无穷远处相交。
如果我象征性地进行上述计算,我会得到以下公式:
xmin, xmax = (R13*R22^2 - R12*R22*R23 ± sqrt(R13^2*R22^4 - 2*R12*R13*R22^3*R23 + R11*R22^3*R23^2 + (R12^2*R22^3 - R11*R22^4)*R33))/(R12^2*R22 - R11*R22^2)
ymin, ymax = (R11*R12*R13 - R11^2*R23 ± sqrt(R11^3*R13^2*R22 - 2*R11^3*R12*R13*R23 + R11^4*R23^2 + (R11^3*R12^2 - R11^4*R22)*R33))/(R11^2*R22 - R11*R12^2)
关于matrix - 计算变换椭圆的 AABB,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/24746834/
问题来自 Julia Discourse 我正在使用 Julia 1.2。这是我的测试: a = rand(1000, 1000) b = adjoint(a) c = copy(b) @btime
给定两个 m x n 矩阵 A 和 B,其元素属于集合 S。 问题:A 的行和列可以置换为 B 吗? 解决这个问题的算法的复杂度是多少? 行列式有部分帮助(当 m=n 时):必要条件是 det(A)
这是共同计算平移和旋转的正确方法,还是有更好的方法?目前我的代码先翻译然后旋转,这会造成问题吗? 代码 from math import cos, sin, radians def trig(angl
如何在 core.matrix 中将矩阵和向量元素相乘? 我正在尝试找到与以下 Octave 音程代码等效的 core.matrix: A = [1 2 3 4; 5 6 7 8] B = [2; 3
我是 Scilab 的新用户(另见 here)。 我定义了一个简单的分段函数,并在使用该函数 ( "Warning adding a matrix with the empty matrix will
我有一个像这样的 RDD: (A,AA,1) (A,BB,0) (A,CC,0) (B,AA,2) (B,BB,1) (B,CC,4) 我想将其转换为以下 RRD: ([1,0,0],[2,1,4])
我使用的矩阵如下 (require '[clojure.core.matrix :as ccm]) (def M (ccm/matrix [[1 2] [3 4]])) (ccm/mset! M 0
我有一个矩阵类,它有一组函数,其中一个是矩阵运算符++(); 构造函数: Matrix(int num_rows,int num_col,int initialization,double initi
我有一个矩阵如下; 1 2 3 4 5 1 0 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 3 1 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0
我已经部署了为家庭服务器(synapse)运行的单个实例,并附加了多个域作为 example.com 和 example1.com。我想创建像 [email protected] 这样的用户和 [em
我有 200 个向量;每一个的长度都是 10000。 我想填充一个矩阵,使每一行代表一个向量。 最佳答案 如果你的向量已经存储在一个数组中,那么你可以在这里使用 vcat( ): A = [rand(
如何向现有矩阵添加行或列?我正在尝试添加一个偏差项(一列)作为矩阵的第一行。在 Octave 中我可以这样做: M = [ones(size(M, 1), 1), M]; 最佳答案 您可以使用 joi
我正在使用 GNU GSL 进行一些矩阵计算。我正在尝试将矩阵 B 与矩阵 A 的逆矩阵相乘。 现在我注意到 GSL 的 BLAS 部分有一个函数可以做到这一点,但前提是 A 是三角形。这有什么具体原
我想计算如下:Matrix * Matrix Matrix有大约 6M*3 个元素,如何转换 Matrix至 Matrix这样我就能得到 Matrix结果。 最佳答案 您可以使用 Map 函数将 do
我只是没有看到我的错误。关于此错误消息的问题太多了,答案要么不适用,要么我只是看不到它们适用。也许应该改进错误消息? Matrix a = Matrix(3, 4); // fill a with v
在android.opengl.Matrix类中有两种旋转矩阵的方法,它们是: static void rotateM (float[] m, int mOffset, float a, float
我正在使用 C++ 进行编码,并且使用的是 FEniCS fenics/2016.1.0。我的部分代码是 Matrix A; Vector f; std::vector> dirichlet_matr
JAMA(用于矩阵计算的 java 库)中的 JAMA:Matrix.times() 与 Matrix.arrayTimes() 有什么区别 如果我有一个d维度 vector x和一个k维度 vect
我试图做的是简单地将 cublasDgemm(矩阵-矩阵乘法)应用于多个具有“双”(8 字节)类型元素的矩阵,所有这些元素都具有一个非常大的维度。在我的例子中,矩阵的大小是 12755046 x 46
我正在尝试使用 android Matrix 对象旋转给定的位图。 我想将它发送到我的服务器,我正在使用 Android API8。 我应该使用 Matrix.setRotate 还是 Matrix.
我是一名优秀的程序员,十分优秀!