haskell - 如何使用带有 Fix 类型的 Functor 实例

Question

假设我想要一个非常通用的 ListF数据类型:

{-# LANGUAGE GADTs, DataKinds #-}

data ListF :: * -> * -> * where
  Nil  ::           List a b
  Cons :: a -> b -> List a b

现在我可以将此数据类型与 Data.Fix 一起使用建立一个 f 代数

import qualified Data.Fix as Fx

instance Functor (ListF a :: * -> *) where
  fmap f (Cons x y) = Cons x (f y)
  fmap _ Nil        = Nil

sumOfNums = Fx.cata f (Fx.Fix $ Cons 2 (Fx.Fix $ Cons 3 (Fx.Fix $ Cons 5 (Fx.Fix Nil))))
  where
    f (Cons x y) = x + y
    f Nil        = 0

但是我如何使用这种非常通用的数据类型 ListF创建我认为默认的 Functor递归列表的实例(映射列表中的每个值)

我想我可以使用 Bifunctor(映射第一个值，遍历第二个值)，但我不知道它如何与 Data.Fix.Fix 一起使用?

Answer 1

通过取双仿函数的固定点来构造递归仿函数是完全正确的，因为 1 + 1 = 2。列表节点结构作为具有 2 种子结构的容器给出:“元素”和“子列表”。

令人不安的是，我们需要一个全新的 Functor 的概念。 (尽管它的名称相当笼统，但它捕获了一种相当特定的仿函数)来构造一个 Functor作为一个固定点。然而，我们可以(作为一个噱头)转向一个稍微更一般的仿函数概念，它在固定点下是封闭的。

type p -:> q = forall i. p i -> q i

class FunctorIx (f :: (i -> *) -> (o -> *)) where
  mapIx :: (p -:> q) -> f p -:> f q

这些是索引集上的仿函数，因此这些名称不仅仅是对 Goscinny 和 Uderzo 的无偿敬意。你可以想到 o作为“各种结构”和 i作为“各种子结构”。这是一个示例，基于 1 + 1 = 2 的事实。

data ListF :: (Either () () -> *) -> (() -> *) where
  Nil  :: ListF p '()
  Cons :: p (Left '()) -> p (Right '()) -> ListF p '()

instance FunctorIx ListF where
  mapIx f Nil        = Nil
  mapIx f (Cons a b) = Cons (f a) (f b)

为了利用子结构排序的选择，我们需要一种类型级别的案例分析。我们无法摆脱类型函数，因为

我们需要它被部分应用，这是不允许的；

我们需要在运行时告诉我们存在哪种排序。

data Case :: (i -> *) -> (j -> *) -> (Either i j -> *)  where
  CaseL :: p i -> Case p q (Left i)
  CaseR :: q j -> Case p q (Right j)

caseMap :: (p -:> p') -> (q -:> q') -> Case p q -:> Case p' q'
caseMap f g (CaseL p) = CaseL (f p)
caseMap f g (CaseR q) = CaseR (g q)

现在我们可以获取固定点:

data Mu :: ((Either i j -> *) -> (j -> *)) ->
           ((i -> *) -> (j -> *)) where
  In :: f (Case p (Mu f p)) j -> Mu f p j

在每个子结构位置，我们进行案例拆分，看看我们是否应该有一个 p -元素或 Mu f p子结构。我们得到了它的功能性。

instance FunctorIx f => FunctorIx (Mu f) where
  mapIx f (In fpr) = In (mapIx (caseMap f (mapIx f)) fpr)

要从这些东西构建列表，我们需要在 * 之间进行权衡。和 () -> * .

newtype K a i = K {unK :: a}

type List a = Mu ListF (K a) '()
pattern NilP :: List a
pattern NilP       = In Nil
pattern ConsP :: a -> List a -> List a
pattern ConsP a as = In (Cons (CaseL (K a)) (CaseR as))

现在，对于列表，我们得到

map' :: (a -> b) -> List a -> List b
map' f = mapIx (K . f . unK)