gsl - 如何使用 GSL 计算涉及复数的椭圆积分？

Question

我需要计算

∫ [x₁ to x₂] 1/√(1-k² sinh²(x)) dx

在我的程序中。这可以使用在复数参数中评估的第一类不完全椭圆积分来表示:

-i (F(ix₂ | -k²) - F(ix₁ | -k²)).

我发现 GSL 提供了椭圆积分 F，但它似乎没有为复数重载。是否有一些扩展可用于这个或我可以使用的不同库？

Answer 1

好吧，这是一个仓促的问题。但如果将来有人可能对此感兴趣，也许 self 回答会有所帮助。

看GSL的源码，发现F(φ,k)降为(只要φ∈[-π,π])为

sin(φ) RF(1-sin²(φ), 1-k²sin²(φ), 1),

其中 RF 是另一个 GSL 函数。没有 F(iφ,k)，但我们可以安全地在上面插入一个纯虚数 φ，因为所有三个参数都是实数:

sin(iφ) = i sinh(φ)
=>
F(iφ,k) = sin(iφ) RF(1+sinh²(φ), 1+k²sinh²(φ), 1)
=>
-i F(iφ | -k^2) = sinh(φ) RF(1+sinh²(φ), 1-k²sinh²(φ), 1)