r - 为什么在包含 R 中的因素的方差分析中删除变量不会降低自由度？

Question

我正在尝试在不同模型之间进行 ANCOVA(方差分析和线性回归之间的混合)，但我遇到了一些问题。我想我把它缩小到一个关于方差分析的问题(或者我不理解或做错的事情):为了在两个模型之间进行比较，它们需要具有不同的残差 Df(自由度)。

例如，让我们考虑 R 中的 mtcars 数据:

library(car)
test_data <- mtcars %>% mutate(factored_variable = as.factor(carb))

model_1 <- aov(drat ~ factored_variable , data = test_data)
Anova(model_1, type = "III")

    # Anova Table (Type III tests)
    # 
    # Response: drat
    # Sum Sq Df  F value                Pr(>F)    
    # (Intercept)       94.870  1 313.3656 0.0000000000000005038 ***
    #   factored_variable  0.991  5   0.6546                0.6607    
    # Residuals          7.871 26                                   
    # ---
    #   Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

model_2 <- aov(drat ~ factored_variable - 1, data = test_data)
Anova(model_2, type = "III")

    # Anova Table (Type III tests)
    # 
    # Response: drat
    # Sum Sq Df F value                Pr(>F)    
    # factored_variable 414.92  6  228.42 < 0.00000000000000022 ***
    #   Residuals           7.87 26                                  
    # ---
    #   Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

所以，我刚才所做的是创建两个模型来预测 drat 值。第一个采用带有因子的变量(Df = 水平数 - 1 = 5)和截距(Df = 1 始终)，因此使用 6 Df。我删除了第二个模型中的截距，所以我只有变量。我希望这个变量只使用 5 个 Df，但显然情况并非如此，因为 Anova 说有 6 个。

因此我的问题是:为什么最后一个 Df 是 6 而不是 5？我猜这与变量有因素有关，但我不明白为什么。是否无法比较涉及此类变量的两个模型？

编辑:感谢您的回答。我想我误解了理论而不是 R，现在更清楚了

Answer 1

您的两个模型本质上是相同的模型，但在第二个模型中您强制截距为零。删除截距不会改变自由度，因为它会导致 factored_variable 的所有 6 个级别都获得参数估计，而不是 6-1=5 个级别的 factored_variable加上截距。

要了解模型在其他方面是等价的(并且每个模型都等价于回归模型)，我们将创建等价的线性回归模型，然后查看系数。

aov1 <- aov(drat ~ factored_variable , data = test_data)
aov2 <- aov(drat ~ factored_variable - 1, data = test_data)

lm1 = lm(drat ~ factored_variable , data = test_data)
lm2 = lm(drat ~ factored_variable - 1 , data = test_data)

现在查看四个模型的系数，如下面的代码和输出所示。 aov1 和 lm1 估计 factored_variable 的截距加上 5 个系数。 factored_variable(“引用”类别)缺失类别的系数是截距。其他系数是该类别与引用类别之间的差异。 aov2 和 lm2 估计每个类别的绝对系数 factored_variable，而不是相对于引用类别的系数。

coefs = data.frame(aov1=coef(aov1), aov2=coef(aov2), lm1=coef(lm1), lm2=coef(lm2))

                                         aov1     aov2         lm1      lm2
(Intercept)/factored_variable1     3.68142857 3.681429  3.68142857 3.681429
factored_variable2                 0.01757143 3.699000  0.01757143 3.699000
factored_variable3                -0.61142857 3.070000 -0.61142857 3.070000
factored_variable4                -0.08542857 3.596000 -0.08542857 3.596000
factored_variable6                -0.06142857 3.620000 -0.06142857 3.620000
factored_variable8                -0.14142857 3.540000 -0.14142857 3.540000

请注意，模型对 lm1/aov1 和 lm2/aov2 每个都具有相同的系数。对于模型 aov1 和 lm1，如果将每个 factored_variable 的系数添加到截距中，您还会看到系数相同作为 lm2 和 aov2 的系数。在每种情况下，模型都会估计六个参数。