big-o - 时间复杂度——大O

Question

我正在尝试解决以下算法的时间复杂度:

s = 0;
i = 1;
while (s < n) {
  s = s + i;
  i = i + 1;
}

但是，我无法确定 while 循环中对数底数的幂。

我知道对于 n=5 它会在 while 循环中迭代 3 次，对于 n=50 会迭代 10 次，但是你如何从中确定大哦？

Answer 1

时间复杂度为O(Sqrt(2n)) .

让我们假设 s=s+i和 i=i+1取单个时间单位，所以问题是:给定n , 号码是多少 i (即 while 循环的数量)？

让我们看看每次迭代的 s 值:

iteration value of s
1         s+1
2         s+1+2
3         s+1+2+3
4         s+1+2+3+4

很明显，在i之后迭代，s 的值是1..i之和，即i*(i+1)/2。

自 s<=n , 然后 i*(i+1)/2<=n所以i~Sqrt(2n) .

编辑

一个简单的C#代码看上面:

int iterate(int n)
{
    int s = 0;
    int i = 1;
    while (s < n)
    {
        s = s + i;
        i = i + 1;
        Console.WriteLine("s: {0}, i: {1} (Sqrt(2s): {2})",s,i,Math.Ceiling(Math.Sqrt(2*s)));
    }
    return i;
}

void Main()
{
    iterate(1000);
}

生成下表(请参阅数字 i 与我们的 Sqrt(2s) 匹配):

s: 1, i: 2 (Sqrt(2s): 2)
s: 3, i: 3 (Sqrt(2s): 3)
s: 6, i: 4 (Sqrt(2s): 4)
s: 10, i: 5 (Sqrt(2s): 5)
s: 15, i: 6 (Sqrt(2s): 6)
s: 21, i: 7 (Sqrt(2s): 7)
s: 28, i: 8 (Sqrt(2s): 8)
s: 36, i: 9 (Sqrt(2s): 9)
s: 45, i: 10 (Sqrt(2s): 10)
s: 55, i: 11 (Sqrt(2s): 11)
s: 66, i: 12 (Sqrt(2s): 12)
s: 78, i: 13 (Sqrt(2s): 13)
s: 91, i: 14 (Sqrt(2s): 14)
s: 105, i: 15 (Sqrt(2s): 15)
s: 120, i: 16 (Sqrt(2s): 16)
s: 136, i: 17 (Sqrt(2s): 17)
s: 153, i: 18 (Sqrt(2s): 18)
s: 171, i: 19 (Sqrt(2s): 19)
s: 190, i: 20 (Sqrt(2s): 20)
s: 210, i: 21 (Sqrt(2s): 21)
s: 231, i: 22 (Sqrt(2s): 22)
s: 253, i: 23 (Sqrt(2s): 23)
s: 276, i: 24 (Sqrt(2s): 24)
s: 300, i: 25 (Sqrt(2s): 25)
s: 325, i: 26 (Sqrt(2s): 26)
s: 351, i: 27 (Sqrt(2s): 27)
s: 378, i: 28 (Sqrt(2s): 28)
s: 406, i: 29 (Sqrt(2s): 29)
s: 435, i: 30 (Sqrt(2s): 30)
s: 465, i: 31 (Sqrt(2s): 31)
s: 496, i: 32 (Sqrt(2s): 32)
s: 528, i: 33 (Sqrt(2s): 33)
s: 561, i: 34 (Sqrt(2s): 34)
s: 595, i: 35 (Sqrt(2s): 35)
s: 630, i: 36 (Sqrt(2s): 36)
s: 666, i: 37 (Sqrt(2s): 37)
s: 703, i: 38 (Sqrt(2s): 38)
s: 741, i: 39 (Sqrt(2s): 39)
s: 780, i: 40 (Sqrt(2s): 40)
s: 820, i: 41 (Sqrt(2s): 41)
s: 861, i: 42 (Sqrt(2s): 42)
s: 903, i: 43 (Sqrt(2s): 43)
s: 946, i: 44 (Sqrt(2s): 44)
s: 990, i: 45 (Sqrt(2s): 45)
s: 1035, i: 46 (Sqrt(2s): 46)