c++ - 一个数的最大除数与质因数的关系

Question

问题如下:
给定两个数字 n 和 k。对于区间 [1, n] 中的每个数字，您的任务是计算其不能被 k 整除的最大除数。打印所有这些除数的总和。
注意:k 始终是素数。
t=3*10^5,1<=n<=10^9, 2<=k<=10^9

我对这个问题的态度:
对于 1 到 n 范围内的每个 i，所需的除数是 i 本身，仅当 i 不是 k 的倍数时。
如果 i 是 k 的倍数，那么我们必须找到一个数的最大约数并与 k 匹配。如果不匹配，那么这个除数就是我的答案。否则，第二大除数就是我的答案。

例如，取n=10 和k=2，1 到10 范围内的每个i 所需的因数为1、1、3、1、5、3、7、1、9、5。这些因数之和为36。所以 ans=36。

我的代码，适用于一些测试用例，但对一些测试失败了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long int

ll div2(ll n, ll k) {
if (n % k != 0 || n == 1) {
    return n;
}

else {
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            ll aa = n / i;
            if (aa % k != 0) {
                return aa;
            }
        }
    }
}
return 1;
}



int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
int t;
cin >> t;

while (t--) {
    ll n, k;
    cin >> n >> k;
    ll sum = 0, pp;

    for (pp = 1; pp <= n; pp++) {
        //cout << div2(pp, k);
        sum = sum + div2(pp, k);
    }
    cout << sum << '\n';
 }

 }

有人可以在我做错的地方帮助我或建议我一些更快的逻辑来解决这个问题，因为我的一些测试用例显示 TIME LIMIT EXCEED

在查看了所有可能的解释后，我将代码修改如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long int

int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
int t;
cin >> t;

while (t--) {
    ll n, i;
    ll k, sum;
    cin >> n >> k;

    sum = (n * (n + 1)) / 2;

    for (i = k; i <= n; i = i + k) {
        ll dmax = i / k;

        while (dmax % k == 0) {
            dmax = dmax / k;
        }
        sum = (sum - i) + dmax;

    }
    cout << sum << '\n';

}

}

但它仍然为 3 个测试用例提供 TIME LIMIT EXCEED。有人请帮忙。

Answer 1

就像其他人已经说过的，看看约束:t=3*10^5,1<=n<=10^9, 2<=k<=10^9 .

如果您的测试具有复杂性 O(n) ，通过循环计算总和，你最终会做一个 t * n ~ 10^14 .这太多了。

这个挑战是数学挑战。您需要使用两个事实:

正如您已经看到的，如果 i = j * k^s与 j%k != 0 ，最大的除数是 j ;

sum_{i=1}^t i = (t * (t+1)) / 2

我们从

S = sum(range(1, n)) = n * (n+1) / 2

然后对于表单 k * x 的所有数字我们添加了太多，让我们更正:

S = S - sum(k*x for x in range(1, n/k)) + sum(x for x in range(1, n/k))
  = S - (k - 1) * (n/k) * (n/k + 1) / 2

继续表格编号 k^2 * x ... 然后 k^p * x直到总和为空...

好的，人们开始编写代码，所以这里有一个小的 Python 函数:

def so61867604(n, k):
    S = (n * (n+1)) // 2
    k_pow = k
    while k_pow <= n:
        up = n // k_pow
        S = S - (k - 1) * (up * (up + 1)) // 2
        k_pow *= k
    return S

并在这里行动 https://repl.it/repls/OlivedrabKeyProjections