math - 标量三重积和确定

Question

今天在尝试解决问题时，我注意到了一些事情。标量三重积与行列式相同或以三个向量为行的三乘三矩阵:

A = [a, b, c]

det(A) = (a X b) * c

我在 Real Timer Rendering 中遇到了这个问题，但我无法真正弄清楚为什么会这样，或者它是否有用。这似乎与计算叉积的捷径方法有关，该方法使用确定的方式在矩阵顶部写入单位向量，但我一直认为这更像是一种助记符，而不是真正合理的数学。

这里是真正的关系，还是只是某种快乐的巧合？

Answer 1

直到一个符号，n×n矩阵的行列式是由它的n个n维行(或列)向量(或单位立方体的体积)所跨越的平行六面体的体积由该矩阵线性变换)。 (axb).c 产品在三个维度上完全相同； axb 给出垂直于 a 和 b 的向量，其长度等于 a 和 b 所张成的平行四边形的面积； (axb).c 给出平行四边形上 c 的高度乘以它的面积。所以，不，这不是巧合。