r - 在 R 的 nnls 中实现额外的约束

Question

我正在使用 R interface to the Lawson-Hanson NNLS非负线性最小二乘算法的实现，该算法求解 ||A x - b||^2，约束是向量 x ≥ 0 的所有元素。这工作正常，但我想添加进一步的约束。我感兴趣的是:

1. 同时最小化 x 的“能量”:||A x - b||^2 + m*||x||^2

2. 最小化“x 导数中的能量”||A x - b||^2 + m ||H x||^2，其中 H 是单位矩阵与第一个非对角线为 -1 的矩阵之和

3. 最普遍的是，最小化||A x - b||^2 + m ||H x - f||^2。

有没有办法通过一些巧妙的方式来重申问题 1.-3 来哄骗 nnls 做到这一点。多于？我对这样的事情抱有希望的原因是 Whitall et al 的一篇论文中有一个随意的评论。 (对付费专区感到抱歉)声称“幸运的是，可以从上面的原始形式采用 NNLS 来解决问题 3 中的问题”。

Answer 1

我认为 m 是标量，对吗？考虑简单的情况 m=1；您可以通过让 H* = sqrt(m) H 和 f* = sqrt(m) f 并使用此处给出的求解方法来推广 m 的其他值。

所以现在您正在尝试最小化 ||A x - b||^2 + ||H x - f||^2。

令 A* = [A' | H']' 并令 b* = [b' | f']'(即将 A 叠加在 H 之上，b 叠加在 f 之上)并解决原始问题||A* x - b*||^2 上的非负线性最小二乘法，约束条件是向量 x ≥ 0 的所有元素。