opengl - 我应该如何处理(变形)opengl中的4D对象？-6ren

opengl - 我应该如何处理(变形)opengl中的4D对象？

转载作者：行者123 更新时间：2023-12-01 11:20:05

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我想尝试编写类似于 4D toys的游乐场，
所以我开始学习opengl。
根据我目前的理解，人们对大多数静态对象使用VBO和统一变换矩阵
(例如多维数据集，骨骼动画等，通常只涉及转换)

我还听说，模型之间的变形也使用VBO来缓存两个模型，因为这两个模型都将得到很好的定义，而不会产生太多的中介。

但是在上述4D玩具中，物体会变形很多，而且会被修剪掉。
而且很可能没有定义的模型，并且两者之间有很多转换。
(现在可能是一个简单的正方形，一个尖刺的球在之后被切成两半)。
在这种情况下，每帧更新顶点VBO或顶点数组(我在另一个问题中看到)是合适的解决方案吗？

最佳答案

对于初学者，我将使用4D -> 3D投影而不是通过超平面切割。结果不一样，但是可以使您更接近目标(因此您可以稍后将其升级为削减目标)。因此，类似于在图形中使用的3D -> 2D转换一样，您有2种选择，一种是使用透视投影，第二种是在渲染时忽略第4维坐标。我将使用后者，因为它更简单。

结构

为了使这一过程尽可能简单，我将使用线框而不是 BR 渲染。因此，您需要处理4D网格(线框)。我将使用2个表:

double pnt[];   // 4D point list (x,y,z,u)
int  lin[];     // lines point indexes (i0,i1)

第一个存储网格物体的所有顶点，第二个存储线架表示形式中由线连接的点的索引点对。

转换

如果我只忽略第四坐标，那么我们将无法获得所需的功能。因此，要使第4维起作用，我们需要在渲染之前添加 4D 变换以将网格定向为 4D 。因此，请使用homogenous transform matrix并调用ir rep。在 4D 中，它应该是5x5正交矩阵，带有4x4旋转部分rot。

为了使其更容易，暂时避免平滑旋转(就像在4D中那样不那么容易)，而是计算随机旋转4x4矩阵。因此，只需将所有单元格随机设置为<-1,+1>即可。将每一行作为基础向量。要使它们正交，只需使其统一并利用叉积即可。有关更多信息，请参见:

How to generate a randomly oriented, high dimension circle in python?

渲染

只需通过转换矩阵转换点表

(x',y',z',u',W) = rep * (x,y,z,u,1)

然后采用(x ,y，z`)并渲染...

这里是4D超立方体的简单OpenGL / C++示例:

//---------------------------------------------------------------------------
//--- Mesh 4D: ver 0.000 ----------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
#ifndef _mesh4D_h
#define _mesh4D_h
//---------------------------------------------------------------------------
#include <math.h>
#include "nd_math.h"
#include "list.h"
//---------------------------------------------------------------------------
const double pi   =    M_PI;
const double pi2  =2.0*M_PI;
const double pipol=0.5*M_PI;
const double deg=M_PI/180.0;
const double rad=180.0/M_PI;
//---------------------------------------------------------------------------
class mesh4D
    {
public:
    matrix<5> rep;  // 4D uniform 5x5 transform matrix

    List<double> pnt;   // 4D point list (x,y,z,u)
    List<int>    lin;   // lines point indexes (i0,i1)

    mesh4D()    {}
    mesh4D(mesh4D& a)   { *this=a; }
    ~mesh4D()   {}
    mesh4D* operator = (const mesh4D *a) { *this=*a; return this; }
    //mesh4D* operator = (const mesh4D &a) { ...copy... return this; }

    void set_randomrep();               // random oriented uniform 4D transform matrix with origin (0,0,0,0)
    void set_hypercube(double a);

    void draw();
    };
//---------------------------------------------------------------------------
void mesh4D::set_randomrep()
    {
    int i,j;
    matrix<4> rot;
    rep.unit();
    rot.rnd();
    rot.orthonormal();
    for (i=0;i<4;i++)
     for (j=0;j<4;j++)
      rep[i][j]=rot[i][j];
    }     
void mesh4D::set_hypercube(double a)
    {
    rep.unit(); // reset orientation
    pnt.num=0;  // clear point list
    lin.num=0;  // clear line list

    pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a);
    pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a);
    pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a);
    pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a);
    pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a);
    pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a);
    pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a);
    pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a);

    pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a);
    pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a);
    pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a);
    pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a);
    pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a);
    pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a);
    pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a);
    pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a);

    // A0
    lin.add( 0+0); lin.add( 0+1);
    lin.add( 0+1); lin.add( 0+3);
    lin.add( 0+3); lin.add( 0+2);
    lin.add( 0+2); lin.add( 0+0);
    // A1
    lin.add( 4+0); lin.add( 4+1);
    lin.add( 4+1); lin.add( 4+3);
    lin.add( 4+3); lin.add( 4+2);
    lin.add( 4+2); lin.add( 4+0);
    // A=A0+A1
    lin.add( 0+0); lin.add( 4+0);
    lin.add( 0+1); lin.add( 4+1);
    lin.add( 0+2); lin.add( 4+2);
    lin.add( 0+3); lin.add( 4+3);

    // B0
    lin.add( 8+0); lin.add( 8+1);
    lin.add( 8+1); lin.add( 8+3);
    lin.add( 8+3); lin.add( 8+2);
    lin.add( 8+2); lin.add( 8+0);
    // B1
    lin.add(12+0); lin.add(12+1);
    lin.add(12+1); lin.add(12+3);
    lin.add(12+3); lin.add(12+2);
    lin.add(12+2); lin.add(12+0);
    // B=B0+B1
    lin.add( 8+0); lin.add(12+0);
    lin.add( 8+1); lin.add(12+1);
    lin.add( 8+2); lin.add(12+2);
    lin.add( 8+3); lin.add(12+3);

    // hyper cube = A+B
    lin.add( 0+0); lin.add( 8+0);
    lin.add( 0+1); lin.add( 8+1);
    lin.add( 0+2); lin.add( 8+2);
    lin.add( 0+3); lin.add( 8+3);
    lin.add( 0+4); lin.add( 8+4);
    lin.add( 0+5); lin.add( 8+5);
    lin.add( 0+6); lin.add( 8+6);
    lin.add( 0+7); lin.add( 8+7);
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void mesh4D::draw()
    {
    int i,j;
    double _zero=1e-3;
    vector<5> a,b;
    glBegin(GL_LINES);
    for (i=0;i<lin.num;)
        {
        // extrac first point
        j=lin[i]*4; i++;
        a.a[0]=pnt[j]; j++;
        a.a[1]=pnt[j]; j++;
        a.a[2]=pnt[j]; j++;
        a.a[3]=pnt[j]; j++;
        a.a[4]=1.0; // W=1
        // extrac second point
        j=lin[i]*4; i++;
        b.a[0]=pnt[j]; j++;
        b.a[1]=pnt[j]; j++;
        b.a[2]=pnt[j]; j++;
        b.a[3]=pnt[j]; j++;
        b.a[4]=1.0; // W=1
        // transform
        a=rep*a;
        b=rep*b;
        // render
        glVertex3dv(a.a);   // use just x,y,z
        glVertex3dv(b.a);   // use just x,y,z
        }
    glEnd();
    }
//---------------------------------------------------------------------------
#endif
//---------------------------------------------------------------------------

我使用了我的动态 list.h模板，因此:
List<double> xxx;与 double xxx[];相同 xxx.add(5);将 5添加到列表的末尾 xxx[7]访问数组元素(安全) xxx.dat[7]访问数组元素(不安全但快速的直接访问) xxx.num是数组的实际使用大小 xxx.reset()清除数组并设置 xxx.num=0 xxx.allocate(100)为 100项目预分配空间
nd_math.h是N维计算的我的库。您需要的只是 4D，5D 向量和 4x4， 5x5线性数学的矩阵数学。

这两个库的大小都很大，而且法律问题也阻止了我在这里共享它们的代码。

用法很简单:

// globals and init
mesh4D mesh
double animx=-50.0,danimx=0.0;
double animy=  0.0,danimy=2.0;
mesh.set_hypercube(0.5);

// render
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluOrtho2D( -2.0, 2.0, -2.0, 2.0 );
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glRotated(animx,1.0,0.0,0.0);
glRotated(animy,0.0,1.0,0.0);
mesh.draw();
glFlush();
SwapBuffers(hdc);

// some timer
animx+=danimx; if (animx>=360.0) animx-=360.0;
animy+=danimy; if (animy>=360.0) animy-=360.0;
call_render_here();

// on key press or mouse wheel or what ever
mesh.set_randomrep();

在这里预览一些 rep旋转...

这样您就可以渲染任何线框网格(即使 BR 渲染也应以这种方式工作)。

如果要 升级到切割的，则应采用每条线框线并计算其与切割超平面的交点。如果我们选择通过点的超平面

O(0,0,0,u_cut)

并且正常

N(0,0,0,1)

然后该任务将简化很多。有3个选择。让我们考虑端点 A,B的边线:

没有交集

((A.u > u_cut)&&(B.u > u_cut)) || ((A.u < u_cut)&&(B.u < u_cut))

只是忽略这样的边缘

1个交叉点

((A.u >= u_cut)&&(B.u <= u_cut)) || ((A.u <= u_cut)&&(B.u >= u_cut))

所以通过线性插值计算交点

x = A.x + (B.x-A.x)*(u_cut-A.u)/(B.u-A.u)
y = A.y + (B.y-A.y)*(u_cut-A.u)/(B.u-A.u)
z = A.z + (B.z-A.z)*(u_cut-A.u)/(B.u-A.u)

并记住这一点以及它所属的边缘。

完全位于内部

(A.u == u_cut)&&(B.u == u_cut)

只要记住两个端点并渲染该边缘即可。

以这种方式处理所有边缘之后，您需要分析记住的相交点，并根据边缘之间的连通性信息从它们创建新的边缘。我还没有这样做，所以我对此无能为力。我会尝试连接共享同一邻居的记忆点，但是不确定 4D 是否足够。

有关更多信息，请查看我发现或回答的相关 QA :

Visualising 4D objects in OpenGL

4D to 3D perspective projection

4D rotations

ND vector and square matrix math template

reper4D

configurable ND rendering engine + hyperspiral

带有透视图的 [Edit1]代码

//--------------------------------------------------------------------------- //--- Mesh 4D: ver 0.001 ---------------------------------------------------- //--------------------------------------------------------------------------- #ifndef _mesh4D_h #define _mesh4D_h //--------------------------------------------------------------------------- #include <math.h> #include "nd_math.h" #include "list.h" //--------------------------------------------------------------------------- const double pi = M_PI; const double pi2 =2.0*M_PI; const double pipol=0.5*M_PI; const double deg=M_PI/180.0; const double rad=180.0/M_PI; //--------------------------------------------------------------------------- class mesh4D { public: matrix<5> rep; // 4D uniform 5x5 transform matrix List<double> pnt; // 4D point list (x,y,z,u) List<int> lin; // lines point indexes (i0,i1) mesh4D() {} mesh4D(mesh4D& a) { *this=a; } ~mesh4D() {} mesh4D* operator = (const mesh4D *a) { *this=*a; return this; } //mesh4D* operator = (const mesh4D &a) { ...copy... return this; } void set_randomrep(); // random oriented uniform 4D transform matrix with origin (0,0,0,0) void set_hypercube(double a); void draw(); }; //--------------------------------------------------------------------------- void mesh4D::set_randomrep() { int i,j; matrix<4> rot; rot.rnd(); rot.orthonormal(); for (i=0;i<4;i++) for (j=0;j<4;j++) rep[i][j]=rot[i][j]; } //--------------------------------------------------------------------------- void mesh4D::set_hypercube(double a) { rep.unit(); // reset orientation rep[0][4]=0.0; // set position rep[1][4]=0.0; rep[2][4]=0.0; rep[3][4]=3.0*a; pnt.num=0; // clear point list lin.num=0; // clear line list pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(-a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); pnt.add(+a); // A0 lin.add( 0+0); lin.add( 0+1); lin.add( 0+1); lin.add( 0+3); lin.add( 0+3); lin.add( 0+2); lin.add( 0+2); lin.add( 0+0); // A1 lin.add( 4+0); lin.add( 4+1); lin.add( 4+1); lin.add( 4+3); lin.add( 4+3); lin.add( 4+2); lin.add( 4+2); lin.add( 4+0); // A=A0+A1 lin.add( 0+0); lin.add( 4+0); lin.add( 0+1); lin.add( 4+1); lin.add( 0+2); lin.add( 4+2); lin.add( 0+3); lin.add( 4+3); // B0 lin.add( 8+0); lin.add( 8+1); lin.add( 8+1); lin.add( 8+3); lin.add( 8+3); lin.add( 8+2); lin.add( 8+2); lin.add( 8+0); // B1 lin.add(12+0); lin.add(12+1); lin.add(12+1); lin.add(12+3); lin.add(12+3); lin.add(12+2); lin.add(12+2); lin.add(12+0); // B=B0+B1 lin.add( 8+0); lin.add(12+0); lin.add( 8+1); lin.add(12+1); lin.add( 8+2); lin.add(12+2); lin.add( 8+3); lin.add(12+3); // hyper cube = A+B lin.add( 0+0); lin.add( 8+0); lin.add( 0+1); lin.add( 8+1); lin.add( 0+2); lin.add( 8+2); lin.add( 0+3); lin.add( 8+3); lin.add( 0+4); lin.add( 8+4); lin.add( 0+5); lin.add( 8+5); lin.add( 0+6); lin.add( 8+6); lin.add( 0+7); lin.add( 8+7); } //--------------------------------------------------------------------------- void mesh4D::draw() { int i,j; const double _zero=1e-3; double focal_length=1.0; vector<5> a,b; glBegin(GL_LINES); for (i=0;i<lin.num;) { // extrac first point j=lin[i]*4; i++; a.a[0]=pnt[j]; j++; a.a[1]=pnt[j]; j++; a.a[2]=pnt[j]; j++; a.a[3]=pnt[j]; j++; a.a[4]=1.0; // W=1 // extrac second point j=lin[i]*4; i++; b.a[0]=pnt[j]; j++; b.a[1]=pnt[j]; j++; b.a[2]=pnt[j]; j++; b.a[3]=pnt[j]; j++; b.a[4]=1.0; // W=1 // transform a=rep*a; b=rep*b; // perspective: camera projection plane u=0, focus at (0,0,0,-focal_length) if (a[3]>=0.0) a*=divide(focal_length,a[3]+focal_length); else a.zero(); if (b[3]>=0.0) b*=divide(focal_length,b[3]+focal_length); else b.zero(); // render glVertex3dv(a.a); // use just x,y,z glVertex3dv(b.a); // use just x,y,z } glEnd(); } //--------------------------------------------------------------------------- #endif //---------------------------------------------------------------------------

并预览:

[Edit2]实体网格和横截面

所以我改变了架构。我将 4D 5x5同质变换矩阵(reper4D)移到单独的文件中，并通过4D单形(4点4边四面体)添加了颜色和网格定义。切割仅是计算单纯形与切割超平面的交点(如上所述)，从而得到3点(三角形)，4点(四面体)或0点。可以轻松渲染(无需分析边缘之间的连接)。有关更多信息，请参见:
Calculate 3D cross section of 4D shape (tesseract)

顺便说一句。我认为这是Miegakure的工作方式。这里更新代码:

//--------------------------------------------------------------------------- //--- Mesh 4D: ver 1.000 ---------------------------------------------------- //--------------------------------------------------------------------------- #ifndef _mesh4D_h #define _mesh4D_h //--------------------------------------------------------------------------- #include "list.h" #include "reper4D.h" //--------------------------------------------------------------------------- class mesh4D { public: reper4D rep; // 4D uniform 5x5 transform matrix List<double> pnt; // 4D point list (x,y,z,w) List<int> lin; // 4D wireframe (i0,i1) List<int> fac; // 4D simplexes (i0,i1,i2,i3) List<DWORD> col; // simplex colors (RGB) mesh4D() {} mesh4D(mesh4D& a) { *this=a; } ~mesh4D() {} mesh4D* operator = (const mesh4D *a) { *this=*a; return this; } //mesh4D* operator = (const mesh4D &a) { ...copy... return this; } void set_hypercube(double a); void draw_cut(double w_cut); // render cross section by w=w_cut hyperplane void draw (double focal_length=-1.0,double w_near=-1.0); // render mesh (focal_length<0) -> no perspective, else perspective view in W+ direction void draw_wireframe(double focal_length=-1.0,double w_near=-1.0); // render wireframe (focal_length<0) -> no perspective, else perspective view in W+ direction }; //--------------------------------------------------------------------------- void mesh4D::set_hypercube(double a) { const double tab_pnt[]= { -a, -a, -a, -a, +a, -a, -a, -a, -a, +a, -a, -a, +a, +a, -a, -a, -a, -a, +a, -a, +a, -a, +a, -a, -a, +a, +a, -a, +a, +a, +a, -a, -a, -a, -a, +a, +a, -a, -a, +a, -a, +a, -a, +a, +a, +a, -a, +a, -a, -a, +a, +a, +a, -a, +a, +a, -a, +a, +a, +a, +a, +a, +a, +a, }; const int tab_lin[]= { // A0 0+0, 0+1, 0+1, 0+3, 0+3, 0+2, 0+2, 0+0, // A1 4+0, 4+1, 4+1, 4+3, 4+3, 4+2, 4+2, 4+0, // A=A0+A1 0+0, 4+0, 0+1, 4+1, 0+2, 4+2, 0+3, 4+3, // B0 8+0, 8+1, 8+1, 8+3, 8+3, 8+2, 8+2, 8+0, // B1 12+0, 12+1, 12+1, 12+3, 12+3, 12+2, 12+2, 12+0, // B=B0+B1 8+0, 12+0, 8+1, 12+1, 8+2, 12+2, 8+3, 12+3, // hyper cube = A+B 0+0, 8+0, 0+1, 8+1, 0+2, 8+2, 0+3, 8+3, 0+4, 8+4, 0+5, 8+5, 0+6, 8+6, 0+7, 8+7, }; // 5x simplex per cube #define _cube(a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7) a1,a2,a4,a7, a0,a1,a2,a4, a2,a4,a6,a7, a1,a2,a3,a7, a1,a4,a5,a7 // 4D hypercube = 8 cubes const int tab_fac[]= { _cube( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), _cube( 0, 1, 2, 3, 8, 9,10,11), _cube( 4, 5, 6, 7,12,13,14,15), _cube( 8, 9,10,11,12,13,14,15), _cube( 0, 1, 4, 5, 8, 9,12,13), _cube( 0, 2, 4, 6, 8,10,12,14), _cube( 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15), _cube( 2, 3, 6, 7,10,11,14,15), }; #undef _cube const DWORD tab_col[]= { // BBGGRR, BBGGRR, BBGGRR, BBGGRR, BBGGRR, 0x00FF0000,0x00FF0000,0x00FF0000,0x00FF0000,0x00FF0000, 0x0000FF00,0x0000FF00,0x0000FF00,0x0000FF00,0x0000FF00, 0x000000FF,0x000000FF,0x000000FF,0x000000FF,0x000000FF, 0x0000FFFF,0x0000FFFF,0x0000FFFF,0x0000FFFF,0x0000FFFF, 0x00FF00FF,0x00FF00FF,0x00FF00FF,0x00FF00FF,0x00FF00FF, 0x00FFFF00,0x00FFFF00,0x00FFFF00,0x00FFFF00,0x00FFFF00, 0x00FFFFFF,0x00FFFFFF,0x00FFFFFF,0x00FFFFFF,0x00FFFFFF, 0x004080FF,0x004080FF,0x004080FF,0x004080FF,0x004080FF, }; int i,n; vector<4> p; rep.reset(); pnt.num=0; for (i=0,n=sizeof(tab_pnt)/sizeof(tab_pnt[0]);i<n;i++) pnt.add(tab_pnt[i]); lin.num=0; for (i=0,n=sizeof(tab_lin)/sizeof(tab_lin[0]);i<n;i++) lin.add(tab_lin[i]); fac.num=0; for (i=0,n=sizeof(tab_fac)/sizeof(tab_fac[0]);i<n;i++) fac.add(tab_fac[i]); col.num=0; for (i=0,n=sizeof(tab_col)/sizeof(tab_col[0]);i<n;i++) col.add(tab_col[i]); } //--------------------------------------------------------------------------- void mesh4D::draw_cut(double w_cut) { const double _zero=1e-6; const int edge2[]={0,1,0,2,0,3,1,2,2,3,3,1,-1}; // simplex wireframe i0,i1 const int edge3[]={0,1,2,3,0,1,3,1,2,3,2,0,-1}; // simplex triangles i0,i1,i2 int e,i,j,k,k0,k1,k2,inside[4]; DWORD rgb; vector<4> p[4],q[4]; vector<3> xyz[4],nor,a,b; for (i=0;i<fac.num;) { rgb=col[i>>2]; // extrac points (x,y,z,w) for (k=0;k<4;k++) { j=fac[i]*4; i++; p[k].a[0]=pnt[j]; j++; p[k].a[1]=pnt[j]; j++; p[k].a[2]=pnt[j]; j++; p[k].a[3]=pnt[j]; j++; // transform rep.l2g(p[k],p[k]); inside[k]=1; } // process edge2 and compute cross section cut intersection points for (e=0,k=0;edge2[e]>=0;) { k0=edge2[e]; e++; k1=edge2[e]; e++; // fully inside if (fabs(p[k0][3]-w_cut)+fabs(p[k1][3]-w_cut)<=_zero) { if ((k<4)&&(inside[k0])){ q[k]=p[k0]; k++; inside[k0]=0; } if ((k<4)&&(inside[k1])){ q[k]=p[k1]; k++; inside[k1]=0; } continue; } // no intersection if (((p[k0][3]> w_cut)&&(p[k1][3]> w_cut))||((p[k0][3]< w_cut)&&(p[k1][3]< w_cut))) continue; // 1 intersection if (k<4) { q[k]=p[k1]-p[k0]; q[k]*=divide(w_cut-p[k0][3],p[k1][3]-p[k0][3]); q[k]+=p[k0]; q[k][3]=w_cut; k++; continue; } } // 4D -> 3D vector for (k0=0;k0<k;k0++) for (k1=0;k1<3;k1++) xyz[k0][k1]=q[k0][k1]; // render triangle if (k==3) { // normal a=xyz[1]-xyz[0]; b=xyz[2]-xyz[1]; nor.cross(a,b); nor.unit(); // render glBegin(GL_TRIANGLES); glNormal3dv(nor.a); glColor4ubv((BYTE*)(&rgb)); glVertex3dv(xyz[0].a); glVertex3dv(xyz[1].a); glVertex3dv(xyz[2].a); glEnd(); } // render simplex if (k==4) for (e=0;edge3[e]>=0;) { k0=edge3[e]; e++; k1=edge3[e]; e++; k2=edge3[e]; e++; // normal a=xyz[k1]-xyz[k0]; b=xyz[k2]-xyz[k1]; nor.cross(a,b); nor.unit(); // render glBegin(GL_TRIANGLES); glNormal3dv(nor.a); glColor4ubv((BYTE*)(&rgb)); glVertex3dv(xyz[k0].a); glVertex3dv(xyz[k1].a); glVertex3dv(xyz[k2].a); glEnd(); } } } //--------------------------------------------------------------------------- void mesh4D::draw(double focal_length,double w_near) { const int edge3[]={0,1,2,3,0,1,3,1,2,3,2,0,-1}; // simplex triangles i0,i1,i2 int i,j,k,k0,k1,k2; DWORD rgb; vector<4> p; vector<3> xyz[4],nor,a,b; // 4D simplexes glColor3f(0.3,0.3,0.3); for (i=0;i<fac.num;) { rgb=col[i>>2]; // extrac points (x,y,z,w) for (k=0;k<4;k++) { j=fac[i]*4; i++; p[0]=pnt[j]; j++; p[1]=pnt[j]; j++; p[2]=pnt[j]; j++; p[3]=pnt[j]; j++; // transform rep.l2g(p,p); // perspective projection if (focal_length>0.0) { p[3]-=w_near; if (p[3]>=0.0) p*=divide(focal_length,p[3]+focal_length); else p.zero(); } // 4D -> 3D vector xyz[k].ld(p[0],p[1],p[2]); } // render simplex for (k=0;edge3[k]>=0;) { k0=edge3[k]; k++; k1=edge3[k]; k++; k2=edge3[k]; k++; // normal a=xyz[k1]-xyz[k0]; b=xyz[k2]-xyz[k1]; nor.cross(a,b); nor.unit(); // render // glBegin(GL_LINE_LOOP); glBegin(GL_TRIANGLES); glNormal3dv(nor.a); glColor4ubv((BYTE*)(&rgb)); glVertex3dv(xyz[k0].a); glVertex3dv(xyz[k1].a); glVertex3dv(xyz[k2].a); glEnd(); } } } //--------------------------------------------------------------------------- void mesh4D::draw_wireframe(double focal_length,double w_near) { int i,j,k; vector<4> p[4]; // 4D wireframe glColor3f(1.0,1.0,1.0); glBegin(GL_LINES); for (i=0;i<lin.num;) { // extrac points (x,y,z,w) for (k=0;k<2;k++) { j=lin[i]*4; i++; p[k].a[0]=pnt[j]; j++; p[k].a[1]=pnt[j]; j++; p[k].a[2]=pnt[j]; j++; p[k].a[3]=pnt[j]; j++; // transform rep.l2g(p[k],p[k]); // perspective projection if (focal_length>0.0) { p[k][3]-=w_near; if (p[k][3]>=0.0) p[k]*=divide(focal_length,p[k][3]+focal_length); else p[k].zero(); } // render glVertex3dv(p[k].a); // use just x,y,z } } glEnd(); } //--------------------------------------------------------------------------- #endif //---------------------------------------------------------------------------

横截面的预览呈现:

最糟糕的部分是将超立方体定义为一组单纯形...

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