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我在 Coq 中有以下列表定义:
Variable A : Set.
Variable P : A -> Prop.
Hypothesis P_dec : forall x, {P x}+{~(P x)}.
Inductive plist : nat -> Set :=
pnil : plist O
| pcons : A -> forall n, plist n -> plist n
| pconsp : forall (a:A) n, plist n -> P a -> plist (S n)
.
它描述了“A
类型的元素列表,其中至少有 n
满足谓词 P
”。
我的任务是创建将临时列表转换为 plist
(具有最大可能的 n
)的函数。我的尝试是先统计所有匹配P
的元素,然后根据结果设置输出类型:
Fixpoint pcount (l : list A) : nat :=
match l with
| nil => O
| h::t => if P_dec h then S(pcount t) else pcount t
end.
Fixpoint plistIn (l : list A) : (plist (pcount l)) :=
match l with
| nil => pnil
| h::t => match P_dec h with
| left proof => pconsp h _ (plistIn t) proof
| right _ => pcons h _ (plistIn t)
end
end.
但是,我在 left proof
行中遇到错误:
Error:
In environment
A : Set
P : A -> Prop
P_dec : forall x : A, {P x} + {~ P x}
plistIn : forall l : list A, plist (pcount l)
l : list A
h : A
t : list A
proof : P h
The term "pconsp h (pcount t) (plistIn t) proof" has type
"plist (S (pcount t))" while it is expected to have type
"plist (pcount (h :: t))".
问题是 Coq 看不到 S (pcount t)
等于 pcount (h::t)
知道 P h
,这已经被证明了。我不能让 Coq 知道这个真相。
如何正确定义这个函数?甚至可以这样做吗?
最佳答案
您可以使用依赖模式匹配,因为结果类型 plist (pcount (h::t))
取决于 P_dec h
是否为 left
或 对
。
下面关键字as
引入了一个新的变量p
,return
告诉了整个match
的类型> 表达式,由 p
参数化。
Fixpoint plistIn (l : list A) : (plist (pcount l)) :=
match l with
| nil => pnil
| h::t => match P_dec h as p return plist (if p then _ else _) with
| left proof => pconsp h (pcount t) (plistIn t) proof
| right _ => pcons h _ (plistIn t)
end
end.
类型 plist (if p then _ else _)
必须等于 plist (pcount (h::t))
替换 p := P_dec h
.然后在每个分支中,比如 left proof
,您需要生成 plist(if left proof then _ else _)
(减少到左分支)。
Coq 可以推断出这里下划线中的内容,这有点神奇,但为了安全起见,您始终可以拼写出来:if p then S (pcount t) else pcount t
(这是意味着完全匹配 pcount
的定义)。
关于coq - 将临时列表转换为 Coq 中的依赖类型列表,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/55150915/
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