coq - 用无法证明的子目标卡住证明引理

Question

我试图证明一个基于以下定义的引理。

Section lemma.

Variable A : Type.
Variable P : A -> Prop.

Variable P_dec : forall x, {P x}+{~P x}.

Inductive vector : nat -> Type :=
  | Vnil : vector O
  | Vcons : forall {n}, A -> vector n -> vector (S n).

  Arguments Vcons {_} _ _.

Fixpoint countPV {n: nat} (v : vector n): nat :=
match v with
| Vnil => O
| Vcons x v' => if P_dec x then S (countPV v') else countPV v'
end.

我要证明的引理如下

Lemma lem: forall (n:nat) (a:A) (v:vector n), 
      S n = countPV (Vcons a v) -> (P a /\ n = countPV v).

我已经尝试了很多东西，目前我正处于这一点。

Proof.
  intros n a v.
  unfold not in P_dec.
  simpl.
  destruct P_dec.
  - intros.
    split.
    * exact p.
    * apply eq_add_S.
      exact H.
  - intros.
    split.

此时的上下文:

2 subgoals
A : Type
P : A -> Prop
P_dec : forall x : A, {P x} + {P x -> False}
n : nat
a : A
v : vector n
f : P a -> False
H : S n = countPV v
______________________________________(1/2)
P a
______________________________________(2/2)
n = countPV v

我的问题是，我似乎被两个我无法证明的子目标困住了，而且可用的上下文似乎也没有帮助。任何人都可以为我提供一些继续前进的指导吗？

编辑:

我通过反驳 H 证明了引理:

assert (countPV v <= n).
* apply countNotBiggerThanConstructor.
* omega.
Qed.

countNotBiggerThanConstructor 在哪里:

Lemma countNotBiggerThanConstructor: forall {n : nat} (v: vector n), countPV v <= n.
Proof.
  intros n v.
  induction v.
  - reflexivity.
  - simpl.
    destruct P_dec.
    + apply le_n_S in IHv.
      assumption.
    + apply le_S.
      assumption.
Qed.

Answer 1

注意 H 不可能为真。这是一件好事，如果你能证明 False，你就可以证明任何事情。所以接下来我会做 contradict H(你不需要最后一个 split)。

总的来说，我觉得你的证明有点乱。我建议考虑如何在纸上证明这个引理并尝试在 Coq 中做到这一点。我不是 Coq 方面的专家，但我认为它也会帮助您认识到，在这种情况下您需要使用矛盾。

(编辑:顺便说一句，其他暗示这个引理不成立的答案是错误的，但我不能用我的 1 声誉发表评论)