Julia:我们如何计算伴随或经典伴随(线性代数)？

Question

我想计算 Julia 1.0 中的经典伴随

为此，我复制了 wikipedia 中作为示例给出的矩阵

julia> B = [-3 2 -5; -1 0 -2; 3 -4 1]
3×3 Array{Int64,2}:
 -3   2  -5
 -1   0  -2
  3  -4   1

在我看来，这是计算 B 的转置而不是它的伴随。相反，我们应该得到这个(来自 wikipedia ):

并尝试使用 adjoint() 得到它的伴随Julia 文档中提到的函数 here尽管该文档没有具体说明此功能的作用

julia> adjoint(B)
3×3 Adjoint{Int64,Array{Int64,2}}:
 -3  -1   3
  2   0  -4
 -5  -2   1

相反，我想得到这个:



在 Matlab 中，我确实得到了:

>> adjoint(B)

ans =

   -8.0000   18.0000   -4.0000
   -5.0000   12.0000   -1.0000
    4.0000   -6.0000    2.0000

Answer 1

Julia 的伴随被定义为输入矩阵的复共轭的转置。但是，您似乎想要 审判矩阵:

The adjugate has sometimes been called the "adjoint", but today the "adjoint" of a matrix normally refers to its corresponding adjoint operator, which is its conjugate transpose.

您可以通过求逆，然后乘以行列式来计算调整矩阵:

julia> det(B) * inv(B)
3×3 Array{Float64,2}:
 -8.0  18.0  -4.0
 -5.0  12.0  -1.0
  4.0  -6.0   2.0

感谢 @Antoine Levitt 和 @Syx Pek 在 Julia Slack 上提出的求逆和乘以行列式的建议。

原答案:

辅助矩阵似乎是辅助因子矩阵的转置。以下是寻找辅因子的简单实现:

# import Pkg; Pkg.add("InvertedIndices")
using InvertedIndices # for cleaner code, you can remove this if you really want to.
function cofactor(A::AbstractMatrix, T = Float64)
           ax = axes(A)
           out = similar(A, T, ax)
           for col in ax[1]
               for row in ax[2]
                   out[col, row] = (-1)^(col + row) * det(A[Not(col), Not(row)])
               end
           end
           return out
       end

然后，要找到调整词，您只需要转置( transpose(cofactor(B)) )。

答案是:

julia> cofactor(B, Float64) |> transpose
3×3 Transpose{Float64,Array{Float64,2}}:
 -8.0  18.0  -4.0
 -5.0  12.0  -1.0
  4.0  -6.0   2.0

这相当于 Matlab 给出的。

编辑:@Antoine Levitt on the Julia slack 指出这本质上是一个重新缩放的逆矩阵，所以如果你计算出缩放因子，你可以做 inv(B) * scaling_factor (在这个矩阵的情况下，它是 6)。