python - python中的无偏方差估计(n-1)模拟失败

Question

我试图编写一个小程序来模拟Python3中随机数的采样。但这似乎与我的意图相反。我究竟做错了什么？这一定非常简单，但我不明白。

import random
import statistics
import math

pcounter = 0
counter = 0
for loop in range(1000):
    l = []
    for x in range(500):
        l.append(random.randint(1,1000))

    m = statistics.mean(l)
    v = list(l)
    v[:] = [(x-m)**2 for x in v]
    realvariance = sum(v)/len(v)
    #print("Real Variance: " + str( sum(v)/len(v)))
    #print("Real Mean: " + str(m))


    sample = random.sample(l, 10)
    v = list(sample)
    #print(v)
    v[:] = [(x-m)**2 for x in v]
    samplem = statistics.mean(sample)
    samplebiasedvariance = sum(v)/len(v)
    samplevariance = sum(v)/(len(v)-1)

    print(samplebiasedvariance)
    print(samplevariance)
    print(realvariance)
    print((samplebiasedvariance - realvariance)**2 < (samplevariance - realvariance)**2)
    if (samplebiasedvariance - realvariance)**2 < (samplevariance - realvariance)**2:
        pcounter = pcounter + 1     
        print("biased Variance wins: " + str(pcounter))

    else:
        counter = counter + 1
        print("Variance wins: " + str(counter))

print("biased Variance wins: " + str(pcounter))
print("Variance wins: " + str(counter))

这会导致:

biased Variance wins: 563
Variance wins: 437

但情况应该是相反的:我预计有偏方差会比使用 (n-1) 计算的无偏方差更差。因此，它通常应该比有偏差的方差更接近真实总体方差(真实方差)。

Answer 1

“偏见”是一个误导性术语——它暗示数学公式中存在某种道德问题。

您所看到的本质上是两个方差估计量的均方误差。 (越接近实际值，均方误差就越小。)事实证明，无偏样本方差的均方误差大于通常的有偏样本方差，而通常的有偏样本方差又比用 1/计算的样本方差具有更大的均方误差。 (n + 1) 而不是 1/n 或 1/(n - 1)。

如果我理解正确的话，如果您将 1/(n + 1) 估计器放入您的程序中，您应该会发现它通常比其他两个估计器更接近实际值。

此主题在 Wikipedia 页面 variance 上进行了讨论。在“总体方差和样本方差”标题下。毫无疑问还有很多其他资源。