python - 求 Petersen 子图中的哈密顿路径

Question

我开始使用 IDE Jupyter && Python 3.6 并出现了一个问题。我必须通过IDE绘制Petersen子图中的哈密顿路径，但我不知道该怎么做。

我显示有关该图的信息:

• Petersen 图:https://en.wikipedia.org/wiki/Petersen_graph
• 亚哈密尔顿图:https://en.wikipedia.org/wiki/Hypohamiltonian_graph

知道如何发表评论吗？

非常感谢。

Answer 1

要计算 Petersen 图中的哈密顿图，我们可以使用 this answer 中的解决方案

petersen = {1: [2,5,6], 2: [3,1,7], 3: [4,2,8], 4: [5,3,9], 5: [1,4,10],
        6: [1,8,9], 7:[2,9,10], 8: [3,10,6], 9: [4,6,7], 10: [5,7,8]}

我忘记了彼得森图是否与其任何顶点排列同构，所以我假设它们不是同构的。因此，我们将添加两个连接到原始图的每个顶点的新顶点，而不是搜索形成路径末端的顶点对。因此，如果原始图中存在哈密顿路径，那么它也会存在于这个扩展图中——只需剪掉两个额外的顶点(-1)和(-2)即可。

# Add two new vertices (-1) and (-2)
for k in petersen:
    petersen[k].append(-1)
    petersen[k].append(-2)
petersen[-1] = list(range(1,11))
petersen[-2] = list(range(1,11))

现在我们可以应用帖子中的算法:

def find_all_paths(graph, start, end, path=[]):
    path = path + [start]
    if start == end:
        return [path]
    if not start in graph:
        return []
    paths = []
    for node in graph[start]:
        if node not in path:
            newpaths = find_all_paths(graph, node, end, path)
            for newpath in newpaths:
                paths.append(newpath)
    return paths

for path in find_all_paths(petersen, -1, -2):
if len(path) == len(petersen):
    print(path[1:-1])

[1, 2, 3, 4, 5, 10, 7, 9, 6, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 10, 8, 6, 9, 7]
[1, 2, 3, 8, 6, 9, 4, 5, 10, 7]
[1, 2, 3, 8, 6, 9, 7, 10, 5, 4]
[1, 2, 7, 9, 6, 8, 3, 4, 5, 10]
[1, 2, 7, 9, 6, 8, 10, 5, 4, 3]
            ...

由于该算法返回给定顶点之间的所有路径的列表，因此我们将仅将它们过滤为哈密顿路径并切断额外的顶点。

当然，这可能会更有效，但我将优化留给您或其他人。对于像 Petersen 这样的小图，我认为它运行得足够快。

绘图

我们随机选择一个路径并将其存储在 ham_path 变量中。

import random
ham_paths = [path[1:-1] for path in find_all_paths(petersen, -1, -2) 
         if len(path) == len(petersen)]
ham_path = random.choice(ham_paths)

然后我们将使用networkx包来绘制图形和选择的路径。

import networkx
g = networkx.Graph()
for k, vs in petersen.items():
    for v in vs:
        if v in [-1, -2] or k in [-1, -2]:
            continue
        if abs(ham_path.index(k) - ham_path.index(v)) == 1:
            g.add_edge(k,v, color='red', width=1.5)
        else:
            g.add_edge(k,v, color='black', width=0.5)

我们创建一个networkx图，哈密顿路径中的每条边都将被涂成红色和粗体。另一方面，每隔一个边缘都会变薄且变黑。我们也不希望绘图中出现额外的顶点。

pos = networkx.circular_layout(g)
edges = g.edges()
colors = [g[u][v]['color'] for u,v in edges]
widths = [g[u][v]['width'] for u,v in edges]
networkx.draw(g, pos, edges=edges, edge_color=colors, width=widths)