python - 比较 `exp(-mod(x))` 的解析傅里叶变换与数值傅里叶变换

Question

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Analytical Fourier transform vs FFT of functions in Matlab (1 个回答)

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我想了解函数的解析 FT 和数值 FT 之间的区别，使用 numpy.fft模块(即为什么它们不一样)。从方程开始

,

它的傅立叶变换可以给出分析 FT(参见例如 Arfken、Weber 和 Harris p966，或 sympy : fourier_transform(exp(-abs(x)), x, k) 这是 2 * pi 不同的一个因子):

。

使用python/numpy计算sig = np.exp(-np.abs(x))的FFT给出可以根据解析解绘制的数值 FT(ft_numeric ~= ft_analytic x 图中的波)。

解析 FT 可以看作是数值 FT 的边界窗口函数，并且可以通过乘以合适的 cos 来转换为数值 FT。函数(ft_analytic x 波与 ft_numeric 重叠，请参阅示例代码了解函数形式)。

我的问题是为什么 numpy在这种情况下，FFT 会产生修改后的(由余弦波调制的)数值 FT 吗？这与 FFT 的定义方式有关吗？我如何从其描述中看出这一点:numpy FFT implementation .

import numpy as np
import numpy.fft as fft
import pylab as plt

x = np.linspace(-10, 10, 2001)
dx = x[1] - x[0]
normalization = 1 / dx

k = 2 * np.pi * fft.fftshift(fft.fftfreq(x.shape[0], d=dx))

# Signal.
sig = np.exp(-np.abs(x))

# Both shifted.
ft_numeric = fft.fftshift(fft.fft(sig))
ft_analytic = 2 / (1 + k**2)

wave = np.cos(2 * np.pi * k / (k[2] - k[0]))

plt.figure(1)
plt.clf()
plt.title('signal')
plt.plot(x, sig)
plt.xlabel('x')

plt.figure(2)
plt.clf()
plt.title('FT')
plt.plot(k, ft_analytic.real, label='ft_analytic')
plt.plot(k, normalization * ft_numeric, label='ft_numeric')
plt.plot(k, normalization * ft_numeric * wave, label='ft_analytic x wave')
plt.xlim((-15, 15))
plt.xlabel('k')
plt.legend()

plt.show()

Answer 1

似乎存在根本性的误解。没有 cos 调制。您只需绘制数字 FFT 信号的实部和分析的幅度。
当您处理真实信号时，实部显然在 0 附近镜像。因此余弦。