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我想知道在 Agda 中处理列表推导式或笛卡尔积的最佳方法是什么。
我有两个向量,xs
和 ys
.我想要(非正式)集合 {(x , y) | x 在 xs,y 在 ys }。
我可以很容易地使用 map 和 concat 来形成这个集合:
allPairs : {A : Set} -> {m n : ℕ} -> Vec A m -> Vec A n -> Vec (A × A) (m * n)
allPairs xs ys = Data.Vec.concat (Data.Vec.map (λ x -> Data.Vec.map (λ y -> (x , y) ) ys ) xs )
pairWitness : ∀ {A} -> {m n : ℕ} -> (xv : Vec A m) -> (yv : Vec A n) -> (x : A) -> (y : A) -> x ∈ xv -> y ∈ yv -> (x , y ) ∈ allPairs xv yv
最佳答案
我已经上传了 a self-contained version of the code 以及所有正确的导入,以便您更轻松地使用代码。
这里重要的是查看您在运行 allPairs
时获得的最终向量的结构:您以精确的模式获得大小为 m
的 n
块。
xv
的头部和 yv
中的每个元素组成的对。 xv
的第 n 个元素以及 yv
中的每个元素组成的对。 _++_
) 组装的。为了能够选择一个块(因为您正在寻找的
x
在其中)或跳过它(因为
x
更远),因此您将引入描述
_++_
和
_∈_
之间相互作用的中间定理
x
在这个块中),它对应于这个简单的中间引理:
_∈xs++_ : {A : Set} {x : A} {m : ℕ} {xs : Vec A m}
(prx : x ∈ xs) {n : ℕ} (ys : Vec A n) → x ∈ xs ++ ys
here ∈xs++ ys = here
there pr ∈xs++ ys = there (pr ∈xs++ ys)
x
离得更远),它对应于另一个引理:
_∈_++ys : {A : Set} {x : A} {n : ℕ} {ys : Vec A n}
(prx : x ∈ ys) {m : ℕ} (xs : Vec A m) → x ∈ xs ++ ys
pr ∈ [] ++ys = pr
pr ∈ x ∷ xs ++ys = there (pr ∈ xs ++ys)
map
创建的,如下所示:
Vec.map (λ y -> (x , y)) ys
。好吧,您可以证明的一件事是
map
与成员(member)证明兼容:
_∈map_xs : {A B : Set} {x : A} {m : ℕ} {xs : Vec A m}
(prx : x ∈ xs) (f : A → B) → f x ∈ Vec.map f xs
here ∈map f xs = here
there pr ∈map f xs = there (pr ∈map f xs)
x ∈ xs
来产生证人:
pairWitness : {A : Set} {m n : ℕ} (xv : Vec A m) (yv : Vec A n)
{x y : A} -> x ∈ xv -> y ∈ yv -> (x , y) ∈ allPairs xv yv
pairWitness (x ∷ xv) yv here pry = pry ∈map (λ y → x , y) xs ∈xs++ allPairs xv yv
pairWitness (x ∷ xv) yv (there prx) pry = pairWitness _ _ prx pry ∈ Vec.map (λ y → x , y) yv ++ys
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