math - 检查 E 的近似值

Question

数学世界 page给出了一个简单的 e 数字公式，据称对于前 10^25 位数字是正确的。它指出 e 大约是

(1 + 9^-4^(7*6))^3^2^85

知道如何检查这个公式是否正确，即使是前 10 位数字？这是右手边的另一种写法

Power[Plus[1, Power[9, Times[-1, Power[4, Times[7, 6]]]]], Power[3, Power[2, 85]]]

Answer 1

这个问题根本不需要 Mathematica。首先，很容易证明 9^(4^(7*6)) 正好等于 3^2^85，因为

 9^(4^(7*6)) = 3^(2*4^(7*6)) = 3^(2^(1+2*(7*6))) = 3^2^85

那么，我们知道表示e的一种方式是作为极限

e = lim (1+1/n)^n, n->infinity

唯一的问题是考虑到 n 非常大但有限，错误是什么。我们有

(1+1/n)^n = e^log((1+1/n)^n) = e^(n*log(1+1/n)) = e^(1-1/(2n)+O(1/n^2)) = e + O(1/n),

给定 n = 3^2^85，我们取 log(10,n) = 2^85 log(10,3) ~ 1.85 *10^25，我们得到一个估计与引用的相似