python - 使用 numpy.polyfit 提取多变量方程系数

Question

这是一旦回答后可能会变得完全显而易见的问题之一，但现在我陷入困境。

我正在尝试根据结果数据集和产生它的四个参数重新创建一个方程。

数据位于矩阵中，最后一列是结果。

我看到了numpy.polyfit允许 y 具有多个值，所以我尝试了...

result=data[:,-1]
variables=data[:,0:-1]
factors=numpy.polyfit(result,variables,2)

结果是:

[[-4.69652251e-01  8.09734523e-01  1.93673361e-02 -1.62700198e+00]
[ 1.42092582e+01 -7.06024402e+00 -9.94583683e-02  1.11882833e+01]
[ 7.44030682e+00  2.08161127e+01  2.65025708e-01  1.14229534e+01]]

我假设结果系数的形式为

[[A^2,B^2,C^2,D^2]
 [A  ,B,  C,  D]
 [const,const,const,const]]

这有点令人费解，特别是因为如果我将系数应用于输入数据，我似乎没有得到任何接近结果数据的东西。

首先，我对 polyfit 结果的含义是否正确？

第二，为什么有四个不同的常量？我应该将它们加在一起，还是什么？

这是否只是解决A与结果，然后B与结果等，而不是整体的组合多维最小化？ (如果是这样，我该怎么做？)

或者我只是误导了polyfit首先在做什么？

Answer 1

Polyfit docs告诉我们

Several data sets of sample points sharing the same x-coordinates can be fitted at once by passing in a 2D-array that contains one dataset per column.

让我们来理解一下。首先，让我们考虑一个例子。假设我们在平面上有 3 个点，并且想要通过 1 次多项式对它们进行插值。这意味着我们想要通过给定的 3 个点绘制一条线，并且该线到该点的平方距离应该最小。假设我们有 3 个点:(1, 1)、(2, 2)、(3, 3)。显然，可以毫无错误地找到经过这些点的直线，这条直线就是y = x。如果我们用y = a * x + b来思考直线，那么a = 1, b = 0。

好。现在让我们从 numpy polyfit 的示例开始:

X = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([1, 2, 3])

a, b = np.polyfit(X, y, deg=1)

(a, b)
>>> (0.9999999999999997, 1.2083031466395714e-15)

a * 1000 + b
>>> 999.9999999999997

不错。现在让我们用矩阵而不是 y 的一个向量来举例。文档告诉我们，我们只是有多条具有相同 X 坐标的线。让我们检查一下。我们采用两组点:(1, 1), (2, 2), (3, 3) 以及适合它们的直线 y = x 和 (1, 2), (2, 4), (3, 6)。拟合线为y = 2x(检查!)。

我们正在转置第二个矩阵，因为 polyfit 需要它。

X = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([[1, 2, 3], [2, 4, 6]]).T
coeff = np.polyfit(X, y, deg=1)

coeff
>>> array([[1.00000000e+00, 2.00000000e+00],
       [1.20830315e-15, 2.41660629e-15]])

我们看到一个矩阵，第一行 (1, 2) 和第二行 (0, 0)。因此，第一列包含第一行的系数，第二列包含第二行的系数。让我们检查一下:

a, b = coeff[:, 0]
a * 10 + b
>>> 9.999999999999998

a, b = coeff[:, 1]
a * 100 + b
>>> 199.99999999999994

因此，您可以传递具有相同 X 坐标的多条线并同时获得多个拟合。例如，它对于转换整组数据的特征很有用。