python - 给定原始和复杂的一维数据的核估计

Question

我不知道如何在给定原始数据和卷积数据的情况下找到用于卷积的内核。例如，如果我有 1D 数据 X 并且我对某个内核 phi 应用卷积，我将得到像这样的输出 convolulated_x。

import numpy as np
X = np.asarray([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10])
phi = np.asarray([-1,0,1])
X_conv = np.convolve(X, phi, mode='same')
print(X_conv)

这里，X_conv是[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 9]。

我的问题是，如果只给出 X 和 X_conv 有没有办法找到用于卷积的内核 phi？

Answer 1

如果我们用 X 表示输入向量，用 Y 表示输出(卷积)向量，则每个 Y(i) 都会生成由 X 的某些元素的线性组合组成:

Y(i) = Sum{j} X(j) * kernel(kernelIndex(i, j))

kernelIndex 是一个函数，它为您提供访问给定卷积的内核的特定位置，并且通常与实现相关(即如何索引输入/输出)。

就我们的目的而言，Y(i) 和 X(j) 是已知的，kernel(…) 是未知的。因此，对于每个输出 Y(i)，我们可以陈述一个线性方程(如上所述)。我们可以收集所有这些方程并求解未知的内核条目。下面是 Matlab 中的示例实现:

function [kernel] = solveConv(source, target, kernelSize)
    sizeOfSource = size(source);
    sizeOfSource = sizeOfSource(2);
    % linear system A x = b
    A = zeros(sizeOfSource, kernelSize);
    b = zeros(sizeOfSource, 1);
    for i = 1 : sizeOfSource
        for j = 1 : kernelSize
            sourceIndex = i + (kernelSize - j) - floor(kernelSize / 2);
            if sourceIndex >= 1 && sourceIndex <= sizeOfSource
                A(i, j) = source(sourceIndex);
            end
        end
        b(i, 1) = target(i);
    end
    % solve the linear system
    kernel = A \ b;
end

您可以使用此函数来获取内核:

>> solveConv([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], [-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 9],3)
ans =

   -1.0000
   -0.0000
    1.0000

或者，如果您不确定内核大小，请尝试更大的内核:

>> solveConv([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], [-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 9],5)

ans =

   -0.0000
   -1.0000
   -0.0000
    1.0000
   -0.0000