haskell - 类型的标识是什么？

Question

我有以下数据类型:

data Bull = Fools
  | Twoo
  deriving (Eq, Show)

并使用 Monoid 来实现它:

instance Monoid Bull where
  mempty = Fools
  mappend _ _ = Fools

如您所见， mempty是恒等律不成立的恒等函数:

*Main> x = Twoo
*Main> mappend mempty x == x

Bull的身份是什么？类型？ Bool的身份是什么？类型？

Answer 1

简答 : 它取决于 mappend功能 .

What would be the identity of Bull type? What is the identity of Bool type?

A型有 没有“固有”身份 ，单位元素只存在于二元函数(这里是 mappend )，如 Wikipedia article says :

In mathematics, an identity element or neutral element is a special type of element of a set with respect to a binary operation on that set, which leaves other elements unchanged when combined with them.

所以这取决于什么操作 mappend是。
如果是 Bool如果我们定义 mappend = (&&) ，那么单位元素是 mempty = True .但是如果我们选择 mappend = (||) ，然后 mempty = False .
您的 instance Moniod Bull是 不正确 .由于它不能满足性质:

mappend mempty x = x

如果我们选择 Fools如 mempty = Fools ，然后 mappend Fools Twoo应该是 Twoo .如果我们选择 mempty = Twoo ，然后 mappend Twoo Twoo仍然不是 Twoo .
一个 Monoid的点是你必须仔细设计二元运算符。喜欢 Haskell documentation on Monoid 说，它应该满足以下规则:

mappend mempty x = x

mappend x mempty = x

mappend x (mappend y z) = mappend (mappend x y) z

mconcat = foldr mappend mempty

这些规则不是为 Haskell“发明”的:幺半群是众所周知的 algebraic structure .通常在数学中，幺半群表示为三元组。例如 (N, +, 0) ，其中 N 是这里的集合(例如自然数)，+ 是二元函数，0 是单位元素。