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ball arithmetic (Arb)有什么优势在 interval arithmetic (MPFI) ?
换句话说，将区间表示为 [center, radius] 比 [left, right] 有什么优势？
这与特定库(Arb 与 MPFI)无关，而是与特定表示的优势有关。
我特别感兴趣的是一种表示是否允许更快的算术(更少的原始操作)、更少的错误高估和更节俭的内存使用。
最佳答案
在任意精度算术中，球算术的速度大约是区间算术的两倍，占用的空间也只有其一半。原因是只有球的中心需要高精度，而在区间运算中，两个端点都需要高精度。当然，细节取决于实现。 (实际上，Arb 比 MPFI 快两倍以上，但这主要是由于实现工作。)
在硬件算术中，球并没有真正比间隔具有速度优势，至少对于标量算术而言。如果您查看球算术的更一般形式并考虑，例如，球矩阵作为浮点矩阵 + 单个浮点数用于以某种范数表示整个矩阵的误差界限，则有一个明显的优势，而不是使用单个间隔或球的矩阵。
Joris van der Hoeven 关于球算术的文章很好地阐述了球算术和区间算术之间的差异:http://www.texmacs.org/joris/ball/ball.html
一个重要的引用是:“粗略地说，球应该用于数字的可靠近似，而间隔主要用于依赖空间分割的认证算法。”
忽略性能问题，球和间隔通常是可以互换的，尽管间隔更适合分割算法。从概念上讲，球很适合表示数字，因为中心半径形式自然地对应于我们对数学近似的看法。这个概念也自然地扩展到更一般的赋范向量空间。
就个人而言，我经常将球算术视为浮点运算 + 误差分析，但误差界限传播由计算机自动完成，而不是手动完成。从这个意义上说，它是进行浮点算术的更好方法(对于某些应用程序!)，而不仅仅是进行区间算术的更好方法。
对于单个数字的计算，错误高估更多地与算法有关，而不是与表示有关。 MPFI 保证它的所有原子函数计算尽可能紧密的间隔，但是一旦开始组合函数，这个属性就不会保留。无论是球算术还是区间算术，只要您运行具有许多相关步骤的计算，就会以相同的方式发生爆炸。为了跟踪由初始条件中的大不确定性导致的误差界限，泰勒模型等技术通常比直接间隔或球算术更好。
真正的复数球(复数中心 + 单半径)有时比表示复数的矩形复数区间更好，因为乘法的环绕效应更小。 (但是，Arb 对复数使用矩形“球”，因此它没有这种特殊优势。)
关于math - 球算术与区间算术，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/53123151/
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