math - gnuplot - 在椭球内绘制随机点

Question

我想使用 gnuplot 在椭圆体的边界内创建和绘制一组随机点。是否可以直接在 gnuplot 中执行此操作，还是需要在外部程序中生成随机数据点？

最终我想产生一个类似于此的椭圆体图形 ellipse figure .

有一些使用 rand 的例子和 cylindrical/spherical coordinates ，但我不确定如何在椭球边界内生成随机点。

Answer 1

根据@Bernhard 的回答，以下是仅使用 gnuplot 的方法。要重用一个随机数，你可以把两个 rand using 的第一个参数中的调用和变量赋值语句，以逗号分隔。 using语句从左到右计算，因此您可以在以下所有 using 中访问这些变量参数。

为了证明这一点，请参见以下示例:

set samples 1000
plot '+' using (x=rand(0), y=rand(0), x):(y)

将此应用于椭圆体，这给出了脚本:

a=3
b=2
phi=30*pi/180

max(x,y) = (x > y ? x : y)
set xrange[-max(a,b):max(a,b)]
set yrange[-max(a,b):max(a,b)]

set offset 0.1,0.1,0.1,0.1
set samples 2000

ex(x, y) = a*(2*x-1)
ey(x, y) = b*(sqrt(1-((2*x-1))**2))*(2*y-1)

unset key    
plot '+' using (x=rand(0), y=rand(0), ex(x,y)*cos(phi)-ey(x,y)*sin(phi)):\
               (ey(x,y)*cos(phi)+ex(x,y)*sin(phi)) pt 7 ps 0.5

结果:



然而，这导致点的明显不均匀分布(参见椭圆末端的聚集，参见@andyras 的评论)。为避免这种情况，您可以通过以下方法将均匀分布的随机点过滤到椭球内:

a=3
b=2
set angles degree
phi=30

max(x,y) = (x > y ? x : y)
set xrange[-max(a,b):max(a,b)]
set yrange[-max(a,b):max(a,b)]

set offset 0.1,0.1,0.1,0.1
set samples 2000
set size ratio 1

check(x, y) = (((x/a)**2 + (y/b)**2) <= 1)
unset key
plot '+' using (x=2*a*(rand(0)-0.5), y=2*b*(rand(0)-0.5), \
     check(x,y) ? x*cos(phi)-y*sin(phi) : 1/0):\
     (x*sin(phi)+y*cos(phi)) pt 7 ps 0.5

这给出了更好的结果:



将其扩展到三个维度:

a=3
b=1
c=1
set angles degree
phi=30

mx(x,y) = (x > y ? x : y)
max(x,y,z) = mx(mx(x,y), mx(x,z))
set xrange[-max(a,b,c):max(a,b,c)]
set yrange[-max(a,b,c):max(a,b,c)]
set zrange[-max(a,b,c):max(a,b,c)]

set offset 0.1,0.1,0.1,0.1
set samples 2000
set size ratio 1

set ticslevel 0
set view 60, 330

check(x, y, z) = (((x/a)**2 + (y/b)**2 + (z/c)**2) <= 1)
unset key
splot '+' using (x = 2*a*(rand(0)-0.5), \
                 y = 2*b*(rand(0)-0.5), \
                 z=2*c*(rand(0)-0.5), \
                 check(x,y,z) ? x*cos(phi)-y*sin(phi) : 1/0):\
                 (x*sin(phi)+y*cos(phi)):(z) pt 7 ps 0.5

结果: