python - 将 Scipy minimize (scipy.optimize.minimize) 与大型等式约束矩阵结合使用

Question

我需要最小化一个函数，比如五个变量(x[0] 到 x[4])

要最小化的标量函数由X'*H*X给出。目标函数看起来类似于:

def objfun(x):
    H = 0.1*np.ones([5,5])
    f = np.dot(np.transpose(x),np.dot(H,x))[0][0]
    return f

这将返回单个标量值。

问题是，如何实现由以下给出的约束方程:

A*X - b = 0

其中 A 和 b 在每次运行中都会发生变化。一个随机的例子是:

A = 
array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
       [ 2,  1,  3,  4,  5],
       [-1,  2,  3,  0,  0],
       [ 0, -5,  6,  3,  2],
       [-3,  5,  6,  2,  8]])

B = 
array([[ 0],
       [ 2],
       [ 3],
       [-2],
       [-7]])

A 和 B 不能硬编码到约束函数中，因为它们在每次运行中可能不同。变量没有界限，不需要指定优化方法。

编辑

我意识到，对于具有 5 个变量的优化问题，如果有 5 个约束方程，只需求解方程即可给出唯一的解。那么 A 可以定义为:

A = 
array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
       [ 2,  1,  3,  4,  5],
       [-1,  2,  3,  0,  0],
       [ 0,  0,  0,  0,  0],
       [ 0,  0,  0,  0,  0]])


B = 
array([[ 0],
       [ 2],
       [ 3],
       [ 0],
       [ 0]])

因此我们有一个具有 3 个线性约束的 5 变量优化问题。

Answer 1

您可以尝试使用 scipy.optimize.fmin_cobyla 函数，我不知道数字详细信息，因此您应该使用您知道预期答案的值进行检查，看看它是否适用根据您的需求，使用容差参数 rhoend 和 rhobeg 并查看是否得到预期的答案，示例程序可能类似于:

import numpy as np
import scipy.optimize

A = \
np.array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
          [ 2,  1,  3,  4,  5],
          [-1,  2,  3,  0,  0],
          [ 0,  0,  0,  0,  0],
          [ 0,  0,  0,  0,  0]])

B = \
np.array([[0],
          [2],
          [3],
          [0],
          [0]])

def objfun(x):
    H = 0.1*np.ones([5,5])
    f = np.dot(np.transpose(x),np.dot(H,x))
    return f

def constr1(x):
    """ The constraint is satisfied when return value >=0 """
    sol = A*x
    if np.allclose(sol, B):
        return 0.01
    else:
        # Return the negative distance between the expected solution
        # and the actual solution for a somehow meaningful value
        return -np.linalg.norm(B-sol)

scipy.optimize.fmin_cobyla(objfun, [0.0, 0.0, 0.0, 0.0,0.0], [constr1])
#np.linalg.solve(A, b)

请注意，这个给定的示例没有解决方案，请尝试使用有解决方案的解决方案。我不完全确定约束函数是否正确定义，尝试找到适合您的函数。您应该尝试提供一个初步猜测，认为这是一个实际的解决方案，而不是 [0.0, 0.0, 0.0, 0.0,0.0] 以获得更好的结果。

查看官方文档了解更多详情:http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.fmin_cobyla.html#scipy.optimize.fmin_cobyla

编辑:另外，根据您正在寻找的解决方案类型，您可能可以形成更好的约束函数，即使不完全精确，也可能允许与预期解决方案在一定公差距离附近的值，并且返回高于 0 的值越接近容差，而不是总是 0.1 等...