matrix - 正方形到梯形

Question

我知道将正方形变换为梯形是一种线性变换，可以使用射影矩阵来完成，但我在弄清楚如何构造矩阵时遇到了一些麻烦。

使用射影矩阵进行平移、缩放、旋转和剪切非常简单。是否有一个简单的射影矩阵可以将正方形转换为梯形？

Answer 1

a、b、c、d 是 2D 正方形的四个角。

a,b,c,d 用齐次坐标表示，因此它们是 3x1 矩阵。

alpha、beta、gamma、delta 是 2D 梯形的四个角。

alpha、beta、gamma、delta 以齐次坐标表示，因此它们是 3x1 矩阵。

H 是您要查找的 3x3 矩阵，也称为单应矩阵

    h1 h2 h3
H = h4 h5 h6
    h7 h8 h9

H 将 a、b、c、d 映射为 alpha、beta、gamma、delta，因此您有以下四个方程

alpha=H*a
beta=H*b
gamma=H*c
delta=H*d

假设您知道 a、b、c、d 和 alpha、beta、gamma、delta，您可以解出前面四个方程组的九个未知数 h1、h2、h3、h4、h5、h6、h7、h8、h9 。

在这里，我刚刚描述了该问题的“原始”解决方案，原则上是可行的；有关上述方法的详细说明，您可以查看例如此页面 http://www.corrmap.com/features/homography_transformation.php他们将 h9=1 放入其中(因为 H 可以仅用 8 个参数来表示)，然后求解八个未知数的八个方程的线性系统。你可以在论文第2节Homography Estimation by Elan Dubrofsky中找到类似的解释。 .

另一种解释是 David Austin 的 2013 March issue of Feature Column from the AMS 中的使用投影几何校正相机 .

理查德·哈特利 (Richard Hartley) 和安德鲁·齐瑟曼 (Andrew Zissermann) 在计算机视觉中的多 View 几何第二版中的第 4 章“估计 - 二维投影变换”中描述了上述方法及其缺点，其中他们还描述了不同的和更好的算法；您可以查看此链接http://www.cse.iitd.ac.in/~suban/vision/geometry/node24.html这似乎是同一本书的内容。

您可以在本书Computer Vision: Models, Learning, and Inference by Simon J.D. Prince的第15.1.4节“投影变换模型”中找到单应性的另一种解释。 。算法算法 15.4:投影变换(单应性)的最大似然学习在他的 Algorithms booklet 中进行了概述。 :问题是通过非线性最小化来解决的。