math - 二维抛物线 PDE 的有限差分

Question

这是从 Numerical Computing-Kincaid 的书第 15 章修改的问题。(不是物理学)

如何正确实现边界条件？条件是

u(0,y,t) = u(x,0,t) = u(nx,y,t) = u(x,ny,t) = 0.

看来我做的不对。我的代码如下。

我正在尝试编写 Fortran 代码来使用有限差分求解二维热(抛物线)方程。当我打印出我的结果时，我得到了不同的结果和“NaN”。看来我没有正确定义边界条件。我在 1 维中正确地编写了代码，试图将其概括为两个我在边界上遇到了麻烦。

注意，i,j分别为x和y位置do循环，m为时间do循环。 nx,ny,W分别为x、y方向和时间上的网格点数。 Lx,Ly 和 tmax 是网格的位置和时间间隔的大小。 position(x,y)步长和时间步长分别由hx,hy,k给出，hx和hy对于下面的例子。我将我的解决方案存储在变量 u 和 v 中，如下所示。

program parabolic2D

implicit none

integer :: i,j,m 
integer, parameter :: nx=10., ny=10., W=21. 
real, parameter :: Lx=1.0, Ly=1.0, tmax=0.1 
real :: hx,hy,k,pi,pi2,R,t 
real, dimension (0:nx,0:ny) :: u,v 


hx=(Lx-0.0)/nx 
hy=(Ly-0.0)/ny 
k=(tmax-0.0)/W
R=k/hx**2.
u(0,0)=0.0; v(0,0)=0.0; u(nx,ny)=0.0; v(nx,ny)=0.0 !boundary conditions u(0,0,t)=0=u(nx,ny,t)
pi=4.0*atan(1.0) 
pi2=pi*pi



do i=1,nx-1
do j=1,ny-1
u(i,j)=sin(pi*real(i)*hx)*sin(pi*real(j)*hy)  !initial condition
end do
end do

do m=1,W

do i=1,nx-1
do j=1,ny-1
v(i,j) = R*(u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1))+(1-4*R)*u(i,j) !Discretization for u(x,y,t+k)
end do
end do

t = real(m)*k ! t refers to time in the problem.

do i=1,nx-1
do j=1,ny-1
u(i,j)=v(i,j) !redefining variables.
end do
end do
write(*,*) 'for all times m, this prints out u(x,y,t)',m,((u(i,j),i=0,nx),j=0,ny)

end do

end program parabolic2D

Answer 1

正如 Ross 指出的那样，您还没有完全指定边缘 i=j=0 和 i=nx 和 j=nx 的边界条件。只指定了您域的角落。

改变

u(0,0)=0.0; v(0,0)=0.0； u(nx,ny)=0.0; v(nx,ny)=0.0 !边界条件 u(0,0,t)=0=u(nx,ny,t)

到

u(0,:)=0.0
u(nx,:)=0.0
u(:,0)=0.0
u(:,ny)=0.0

甚至

u=0.0。

稍后会覆盖内部点。