python - 与黎曼求和 Python 集成

Question

我一直在尝试用黎曼和求解积分。我的函数有 3 个参数 a、b、d，因此 a 是下限 b 是上限，d 是 a +(n-1)*d < b 的部分。这是我到目前为止的代码。我的输出是 28.652667999999572我应该得到的是 28.666650000000388 。另外，如果输入 b 低于 a，则必须进行计算，但我已经解决了该问题。

def integral(a, b, d):
    if a > b:
        a,b = b,a
    delta_x = float((b-a)/1000)
    j = abs((b-a)/delta_x)
    i = int(j)
    n = s = 0
    x = a
    while n < i:
        delta_A = (x**2+3*x+4) * delta_x
        x += delta_x
        s += delta_A

        n += 1

    return abs(s)

print(integral(1,3,0.01))

Answer 1

这里没有任何错误，无论是算法还是你的代码(或Python)。黎曼和是积分的近似值，本身并不“精确”。您可以近似宽度为 dx 的(小)条纹的面积，例如在 x 和 x+dx 之间，并且 f(x) 与 f(x) 的左上角具有相同宽度和高度的矩形面积。如果函数在从 x 变为 x+dx 时改变其值，则矩形的面积将偏离真实积分。
正如您所注意到的，您可以通过制作越来越薄的切片来使近似值更接近，但代价是更多的计算工作量和时间。在您的示例中，函数为 f(x) = x^2 + 3*x + 4，并且 [1.0,3.0) 中 x 的精确积分为 28 2/3 或 28.66666...

矩形的近似是一个粗略的近似，你无法改变它。但您可以更改的是代码评估所需的时间，例如 10^8 个步骤而不是 10^3 个步骤。看一下这段代码:

def riemann(a, b, dx):
    if a > b:
        a,b = b,a
    # dx = (b-a)/n
    n = int((b - a) / dx)
    s = 0.0
    x = a
    for i in xrange(n):
        f_i = (x + 3.0) * x + 4.0
        s += f_i
        x += dx
    return s * dx  

在这里，我使用了 3 个技巧来加速，其中一个技巧用于提高精度。首先，如果您编写一个循环并且提前知道重复次数，则使用 for 循环而不是 while 循环。速度更快了。 (顺便说一句，循环变量通常是 i、j、k ...而限制或最终值是 n >)。其次，对于 python 2.x 的用户来说，使用 xrange 而不是 range 速度更快。第三，经常计算多项式时要因式分解。你应该从代码中明白我在这里的意思。这样，结果在数值上是稳定的。最后一个技巧:循环中不依赖于循环变量的操作可以在循环结束后提取并应用。在这里，最后与 dx 相乘。