caching - 如何使用 Y-combinator 为这个函数获取缓存

Question

我有一个 coins = [200; 100; 50; 20; 10; 5; 2; 1] list 和这个递归函数来计算有多少种方法可以给出一定的变化(Project Euler problem 31 的剧透警报):

let rec f acc coins amount =
    if amount < 0 then 0L
    elif amount = 0 then acc
    else
        match coins with
        | [] -> 0L
        | c::cs ->
            f (acc + 1L) coins (amount - c) + f acc cs amount

除了 StackOverflowException对于较大的值，该函数需要很长时间。所以我想起了 Y combinator并且很好奇如何将其应用于这个问题。带一点 help以及我得出的函数签名的两个小改动:

let f f acc coins amount =
    if amount < 0 then 0L
    elif amount = 0 then acc
    else
        match coins with
        | [] -> 0L
        | c::cs ->
            f (acc + 1L) coins (amount - c) + f acc cs amount

let rec Y f x = f (Y f) x

这有效，现在我想使用字典进行缓存。但为此我不知道如何处理 acc和 coins f 的参数.

在下面的代码中，字典已经有了一个疯狂的类型。柯里化(Currying)函数后，它变成了 int -> int64 ，所以我希望我的字典有这两个类型参数，但它没有。它编译并给出了正确的答案，但对于大输入来说它仍然很慢——对于那种类型来说不足为奇。

open System.Collections.Generic
let memoize (d:Dictionary<_, _>) f x =
    match d.TryGetValue(x) with
    | true, re -> re
    | _ ->
        let re = f x
        d.Add(x, re)
        re

let numberOfWaysToChange =
    let d = Dictionary<_,_>()
    fun x -> Y (f >> fun f x -> memoize d f x) 0L coins x

我尝试坚持两个初始化参数 0L和所有地方的列表，但我无法让任何其他变体工作。

我怎样才能使这个例子中的缓存工作，我。 e.如何修复参数以使我的缓存为 Dictionary<int, int64> 类型?

PS:我知道我的 f不是尾递归的，所以我可以用 acc 来省去麻烦umulator 参数(也需要学习延续)。

Answer 1

您快到了，您只需要将 Y 组合器的功能集成到递归内存功能中。

let rec Y f x = f (Y f) x
// val Y : f:(('a -> 'b) -> 'a -> 'b) -> x:'a -> 'b

let memoize f =
    let d = new System.Collections.Generic.Dictionary<_,_>()
    let rec g x =
        match d.TryGetValue x with
        | true, res -> res
        | _ -> let res = f g x in d.Add(x, res); res
    g
// val memoize : f:(('a -> 'b) -> 'a -> 'b) -> ('a -> 'b) when 'a : equality

调整算法。

let cc f = function
| amount, _ when amount = 0 -> 1
| amount, _ when amount < 0 -> 0
| _, [] -> 0
| amount, hd::tl -> f (amount, tl) + f (amount - hd, hd::tl)

#time;;
Y cc (200, [200; 100; 50; 20; 10; 5; 2; 1])
memoize cc (200, [200; 100; 50; 20; 10; 5; 2; 1])