math - 检查点积是否接近 0 时，epsilon 应该有多大？

Question

检查点积是否接近 0 时，epsilon 应该有多大？

我正在做光线追踪项目，我需要检查点积是否为 0。但是
这可能永远不会发生，所以如果它的值很小，我想把它当作 0
area [-eps, +eps]，但我不确定 eps 应该有多大？

谢谢

Answer 1

由于您将其描述为光线跟踪项目的一部分，因此您所需的准确性可能取决于场景的“世界坐标”，甚至可能是将这些坐标转换为的屏幕坐标。这些中的任何一个都会为您的计算中的绝对误差提供可接受的目标。

有可能从它回溯到您正在执行的中间计算所需的精度，例如形成一个“理论上”应该为零的内积。例如，您可能试图找到两个光滑物体之间的最短路径(反射光)，而内积(垂直度)的消失给出了一个点的位置。

在这种情况下，内积可能是您寻求的未知数(点的位置)的二次方。未知数可能形成“双根”(重数 2 的零)，使得该根的位置对内积为零的计算特别敏感。

对于这种情况，您可能希望根据位置精度的需要，在内积中获得大约两倍的数字“零”。本质上，内积随位置在双根附近的变化非常缓慢。

但是您的应用程序可能没有那么敏感；需要分析所涉及的算法才能给你一个好的答案。作为一般规则，我以 double 进行内积，以获得就单精度而言可能可靠的答案，但如果要实时进行光线跟踪，这可能成本太高。