math - 3d 成像 : defining an ellipsoid based on 3 given ellipses which are parallel to the Cartesian planes

Question

对于 3d 成像软件，我正在编码:

我需要定义一个椭球 E，它可以在空间中具有任何半径、中心和旋转


用户界面允许用户控制 3 个椭圆，它们是椭圆的“切片”(图像中的红色、绿色、蓝色)，并且(根据定义)平行于主要笛卡尔平面(x-y、y-z.
x-z)

这 3 个椭圆是整个椭圆的一部分，并定义了整个椭圆


每个切片都可以在空间中拖动、调整大小或旋转，并且
每个切片都是完全定义的:它是中心在空间中的 3d 位置，它是 2 个半径，它是与轴平面的距离。

显然，每次更改都会影响椭圆体 E 和其他 2 个派生椭圆的参数。

我需要根据对切片所做的更改重新计算椭球 E 的方程

(椭圆体的首选方程类型应该可以很容易地推导出 X-Y 椭圆切割(变量 z))

有任何想法吗？
提前谢谢
萨尔

Answer 1

我认为这个问题的关键是重写matrix form中的初始椭圆方程: xTAx , 其中 x = {x,y,z} 和 一个 是肯定的。服用



我们可以更新 一个 通过 similarity transform .因此，更新后的矩阵为 一个' = UTAU 在哪里 U 是 orthogonal matrix和 犹他州 是它的转置。那么一个'用于更新其他 View 。

从围绕三个轴的旋转矩阵开始



我们可以很清楚地看到，围绕轴的旋转将影响 中的 8 个项。一个 .因为，一个 是对称的，这减少到仅更改 6 项中的 5 项。缩放/拉伸(stretch)也很容易完成。

我们首先假设拉伸(stretch)沿 x 轴(或任何适当的轴)，所以 小号 是具有对角线 {sqrt( s ), 1, 1} 的对角矩阵，其中 s 是应用的拉伸(stretch)量。然后将缩放矩阵旋转到正确的应用方向，即 RTheta S RThetaT ，其中 Theta 是正 x 轴与顺时针拉伸(stretch)方向之间的角度。注意这里旋转的相反顺序，如 RThetaT 可以认为是旋转坐标以便 小号 拉伸(stretch) x 轴和 RTheta 将它们旋转回来。例如，如果 x-y 平面沿 x = y 重新缩放因子 s，则



小号 适用于 一个 以与旋转相同的方式，同样，很容易看出除了 zz 项之外的所有项都直接受到缩放操作的影响。