python - 尝试将 pi 计算为 7s.f。使用 arctan(x) 的泰勒级数近似的结果。与 while 循环作斗争

Question

我对 Python 完全陌生，并且在完成部分作业时遇到了一些问题。

首先，我们必须定义一个使用泰勒级数展开来近似 arctan(x) 的函数。

现在，我必须利用 arctan(1) = pi/4 这一事实，使用我的函数将 pi 计算为 7sf，并找到此精度级别所需的迭代次数 N。

这是我的泰勒展开式代码(条件语句用于作业的另一部分):

import math as mt


def TaylorExp (x,N):
    if abs(x) <=1:
            n=0.0
            total = 0.0
            while (n<N): #performs N iterations.
                c = (((-1)**n)/((2*n)+1))*(x**((2*n)+1))
                total += c
                n += 1    
            return total

这是我尝试将 pi 计算为 7sf 并找到所需 N 的代码:

i=0
z = 0
k=0
while ((format(k,'.6f'))!= (format(mt.pi,'.6f'))):
    z = TaylorExp(1,i)
    i += 1
    k= z*4
print ('The value for pi found from arctan (1) is', format(k,'.6f'),' which is accurate to 7sf.')
print ('The number of iterations N required is: ',i, format(mt.pi, '.6f'))

它的工作速度很快，最多可达小数点后 3 位，但 4dp 需要几分钟，5 和 6 dp 需要几小时/天。我知道这是一种非常低效的方法，但是花了相当长的时间尝试不同的 while 循环等，我无法使用我的 TaylorExp 函数找到更快的方法，因此我们将不胜感激。

Answer 1

您的代码需要 O(n^2) 时间，第一次进行 1 次迭代，第二次进行 2 次迭代，依此类推。

您可以更改 TaylorExp 函数以返回一个生成器，该生成器按顺序生成该系列的每个步骤:

def TaylorExp(x):
    total = 0.0
    n = 0.0
    while True:
        c = (((-1)**n)/((2*n)+1))*(x**((2*n)+1))
        n += 1
        total += c
        yield total

然后像这样使用它:

i = 0
k = 0.0

for z in TaylorExp(1):
    k = z * 4
    if format(k, '.6f') == format(math.pi, '.6f'):
        break
    i += 1

print ('The value for pi found from arctan (1) is', format(k, '.6f'),' which is accurate to 7sf.')
print ('The number of iterations N required is: ', i, format(math.pi, '.6f'))

在我的计算机上，此代码大约需要 5 秒，并打印:

The value for pi found from arctan (1) is 3.141593  which is accurate to 7sf.
The number of iterations N required is:  1181460 3.141593